Section 1.1 函数
Subsection 1.1.1 集 合
Subsubsection 1.1.1.1 集合的概念
集合是指所考察的具有共同特征的对象的总体,集合简称集. 例如某校一年级学生全体组成了一个集合; 平面上过某个定点的直线全体组成了一个集合; 能够被 3 整除的自然数的全体组成了一个集合; 等等. 组成集合的每一个对象称为该集合的元素, 简称元. 通常用大写字母 表示集合, 小写字母 表示集合的元素,若 是集合 的元素,则称 属于 记作 若 不是 的元素,则称 不属于 记作 或 表示集合的方法通常有两种: 一种是列举法,另一种是描述法.
所谓描述法,就是把集合中的元素的公共特征描述出来.例如集合 由具有某种特性的元素 的全体组成,记作 具有的特征 大括号内竖线左侧是这个元素的一般形式,坚线右侧是这个集合的元素所具有的公共特征.例如,集合 是由满足 的 的全体组成的集合,记作
Subsubsection 1.1.1.2 集合的运算
集合的运算可用图 1-1 直观表示 (图中阴影部分为运算结果).

集合的运算有下列性质:
- 交换律
- 结合律
- 分配律
- 幂等律
- 吸收律
-
对偶律 (德・摩根律)
Subsubsection 1.1.1.3 区间
Subsubsection 1.1.1.4 邻域
Subsection 1.1.2 变量与函数的概念
观察自然与社会现象时会遇见各种不同的量, 其中有些量在所考察过程中保持不变,这种量称为常量; 另一些量在所考察过程中发生变化, 取不同的值, 这种量称为变量. 通常以 等表示常量, 用 等表示变量. 在同一过程中往往有几个变量相互联系、相互影响地变化着,遵循着一定的客观规律, 如果能用数学方式精确地描述出这些变化的因果关系, 就能把握事物的发展趋势,函数就是变量变化关系最基本的数学描述.
Example 1.1.2.
Example 1.1.3.
在上面的例子中,如果对各个变量的具体意义进行抽象, 则可以看见其具有共同点: 含有两个变量, 不妨叫做 和 当一个变量 (例如 ) 在某一个范围内每取定一值时, 另一个变量 (例如 ) 按照某个法则有确定的值与之对应.
Definition 1.1.4.
定义 1 设 为两个变量, 为一非空数集, 若对于每一个 按某种法则 变量 总有确定的值与之对应,则称 是 的函数, 记作 称为自变量, 称为因变量, 称为函数的定义域, 记为 的一切值所成的数集称为函数的值域, 记为
则有
在实际问题中, 函数的定义域是由实际问题的背景确定的. 例如, Example 1.1.2 中 Example 1.1.3 中 对于一般的函数, 其定义域是使因变量有确定实数值的自变量的全体所组成的集合. 例如, 函数 的定义域是由 的全体实数组成的集合,即 函数 的定义域为 即 如上所述,由实际问题的背景所确定的函数的定义域称为实际定义域,而使对应法则 有意义的自变量的全体称为函数的自然定义域. 今后,如果没有特别的说明,求函数的定义域通常就是求函数的自然定义域.
除了用一个数学式子表示函数外, 有些函数随着自变量取不同的值, 函数关系也不同, 这种函数称为分段函数.
Example 1.1.5.
Example 1.1.6.
例如
Example 1.1.7.

Solution.
解 当直线 上点的 坐标位于区间 内, 即 时, 当直线 上点的 坐标位于区间 内, 即 时, 因此,
其定义域 值域
用数学公式表示函数的方法称为函数的解析表示法. 除了解析表示法外, 函数有时也可用表格法(如三角函数表、对数表等)与图形法(如气温图、心电图)等方式表示. 在函数定义中,对于定义域 内任一点 若按照对应法则 只有唯一确 定的值与之对应,则称 为 的单值函数; 若 有两个或两个以上的值与之对应,则称 为 的多值函数. 对于多值函数, 通常可以限制 的取值范围使之成为单值函数. 例如, 由 所表示的函数 和反三角函数 都是多值函数. 对于 若限制 则有 若限制 则有 此时它们都是 的单值函数,称它们是由 所表示的函数的两个单值分支. 而对于函数 任取 则有无穷多个 值与之对应. 若限制 则 就是一个单值函数, 称为 的主值或主值分支. 其他反三角函数也有类似的情况. 今后要讨论的函数, 如果没有特别的说明, 指的都是单值函数.
Subsection 1.1.3 函数的几种性质
Subsubsection 1.1.3.1 单调性

单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数, 称为单调区间. 单调增加函数的图形表现为自左至右上升的曲线段 (见图 1-7a); 单调减少函数的图形表现为自左至右下降的曲线段 (见图 1-7b).
Subsubsection 1.1.3.2 奇偶性
成立,则称 为偶函数; 若

Subsubsection 1.1.3.3 有界性
Subsubsection 1.1.3.4 周期性
设函数 的定义域为 若存在正数 使得对于 有 且 成立,则称 为周期函数, 为 的周期. 满足上述关系的最小正数 称为 的最小正周期, 通常称周期函数的周期就是指最小正周期. 例如, 和 都是以 为周期的周期函数; 和 都是以 为周期的周期函数 是以 1 为周期的周期函数; 常数 也可以看作周期函数,但它无最小正周期. 以 为周期的周期函数 在其定义域内每个长度为 的区间上, 函数图形有相同的形状 (见图 1-10).

Subsection 1.1.4 反函数
在函数关系中, 自变量和因变量的关系是相对的. 在问题研究中, 有时需要对换自变量和因变量的位置. 例如, 对于Example 1.1.3 中的自由落体运动, 若要了解物体下落距离 是怎样随下落时间 变化的,则有
可见,在同一问题中根据研究的目标不同, 自变量和因变量的地位也会不同.
Definition 1.1.8.
如果 是 的反函数, 那么 也是 的反函数, 因此, 与 互为反函数. 习惯上,用 表示自变量, 用 表示函数. 因此, 反函数 可记作 有时也记为 在求反函数时, 通常就是指求这种习惯上的反函数. 按照上面的定义,虽然 是单值函数, 但反函数 不一定存在.例如, 的定义域 值域 当 时, 有两个 与之对应, 即 因此, 的反函数不存在. 但是, 对于 函数 在 上是单值且单调增加, 其反函数 在 上也是单值且单调增加. 一般地, 如果在区间 上定义的函数 是单值单调的, 那么其反函数 在 上也是单值单调的,且单调性相同. 事实上,若函数 在区间 上单值并且单调增加, 则任取 且 按 的定义存在 使 若 则由 单调增加, 必有 若 则显然有 这两种情形都与假设 矛盾, 故必有 即反函数 在 上也单调增加. 单调减少的情况同理可证. 现在来看当 为单值单调函数时, 函数 与它的反函数 的图形有何关系. 因为 与 是变量 与 的同一个方程, 所以在 平面内它们有同一个图形 (见图 1-11a). 把反函数 记为 后, 不难看出, 在同一坐标平面内, 与 的图形是关于直线 对称的 (见图 1-11b).

事实上,设 为 图形上的任一点,如图 1-11b 所示, 即反函数 的图形上必有一点 与 对应, 而 与 关于直线 对称. 同样, 对于反函数 图形上任一点也必有函数 图形上的一点与之对应,而且这两点也关于直线 对称. 因此, 由 的图形容易作出它的反函数 的图形.
Subsection 1.1.5 复合函数
在实际问题中往往会遇到一个函数跟另一个函数发生联系的情况. 例如, 在匀加速直线运动中, 要研究动能与时间 的关系时, 因为物体的动能为 而且物体的运动速度 (其中 为物体的质量, 为常数), 因此将 代人 得
Definition 1.1.9.
Example 1.1.10.
Example 1.1.11.
Example 1.1.12.
Example 1.1.13.
Solution.
解
- 当
时, 由 得 则 由 得 则 - 当
时, 由 得 则 由 得 则
所以
复合函数也可以由多个函数复合而成. 例如, 由 则可以得到 实际上, 对于一个给定的复合函数, 真正关注的是要搞清楚它是由哪些简单的函数、经过哪些层次复合起来的. 例如, 是由 等 4 个简单函数复合而成的; 是由 等 5 个简单函数复合而成的.
Subsection 1.1.6 函数的四则运算
Example 1.1.14.
Solution.
解 函数 的定义域 由于 和 都是分段函数,且分界点不全相同,一般说来 也是分段函数, 且以 和 的所有分界点作为分界点, 可列表如下:
0 | 1 | ||||||
2 | |||||||
2 | 1 | 0 |
于是有 且有
Example 1.1.16.
Solution.
证 令 则
因为 所以 是偶函数. 又因为 所以 是奇函数. 这就证明了在 上 可表示为一个偶函数与一个奇函数之和.
Subsection 1.1.7 初等函数
在中学数学已经讨论过以下几种函数:
- 常数函数:
( 为常数). - 幂函数:
(常数 -
指数函数:
且 当 时, 单调减少; 当 时, 单调增加. - 对数函数:
且 当 时, 单调减少; 当 时, 单调增加. 特别地, 当 时, 记作 它称为自然对数函数. - 三角函数:
都是周期函数,并且其中 都是奇函数,而 是偶函数. - 反三角函数:
的反函数 在 上单调增加; 的反函数 在 上单调减少; 的反函数 在 上单调增加; 的反函数 在 上单调减少.
Example 1.1.17.

Solution.
解 按题意,半球大小不变, 它的半径 为常量, 圆雉的体积随着它的高 与底半径 而定, 则
现在要将 用 表示出来, 由图 1-12 可知, 由于 所以
于是得
Example 1.1.18.
例 13 曲柄连杆机构 (见图 1-13) 是利用曲柄 的旋转运动, 通过连杆 使滑块 做往复直线运动, 设 曲柄以等角速度 绕 旋转, 求滑块位移的大小 与时间 之间的函数关系 (假定曲柄 开始做旋转运动时, 在点 处).

Solution.
解 由图 1-13 可知, 又
于是
而在直角三角形 中, 故
Example 1.1.19.
例 14 某工厂生产某型号车床, 年产量为 台, 分若干批进行生产, 每批生产准备费为 元, 设产品均匀投人市场, 且上一批用完后立即生产下一批, 即平均库存量为批量的一半. 设每年每台库存费为 元. 显然, 生产批量大则库存费高, 生产批量少则批数增多, 因而生产准备费高. 试求一年中库存费同生产准备费之和与批量的函数关系.
Solution.
解 设批量为 库存费同生产准备费之和为 因为年产量为 所以每年生产的批数为 (设其为整数), 则生产准备费为
又因为平均库存量为 故库存费为 因此, 可得
函数的定义域为 中的正整数因子.
Example 1.1.20.
Solution.
解 根据题意可列出函数关系:
这里运价 和里程 的函数关系是用分段函数表示的, 函数的定义域为
Technology 1.1.21. 初等函数图像.
xxxxxxxxxx
f(x) = x**2
g(x) = atan(x)
plot(f(x),x,0,2,figsize=3)+plot(g(x),x,0,2, color="red")
通过下图的交互, 你可以画出课本上的大部分图形. 注意: 下图选中颜色后按回车键确认选色.
Subsection 1.1.8 双曲函数与反双曲函数

双曲函数 的反函数分别定义为
- 反双曲正弦
- 反双曲余弦
- 反双曲正切
由此可知, 双曲余弦的反函数是双值的. 取其正值的一支作为该函数的主值,于是有

Subsection 1.1.9 * 映 射
函数是一种特殊的映射,下面介绍映射的概念.
Definition 1.1.23.
Definition 1.1.24.
定义 5 设 是从 到 的映射, 若 即 中任一元素 都是 中某一元素的像,则称 是从 到 的满射; 若对于 中任意两个不同元素 总有 则称 是从 到 的单射; 若映射 既是单射, 又是满射,则称 为 到 的一一映射 (或双射).
例如, 对任一 是一个映射, 但不是单射, 也不是满射,其值域 是 的一个真子集; 而 对任一 是一个满射, 但不是单射, 对任一 在 中有很多个原像, 如 有原像 再如 , 是一个一一映射(双射).
Definition 1.1.25.
Definition 1.1.26.
Subsection 1.1.10 SageMath的基本功能
Subsubsection 1.1.10.1 计算器功能
xxxxxxxxxx
pi.n(), pi.n(digits=50), sqrt(2).n(digits=50)
点击
Evaluate(Sage)
, 获取结果.Subsubsection 1.1.10.2 求解方程功能
xxxxxxxxxx
solve(x^3-2*x+1==0,x)
xxxxxxxxxx
# 分解因式
x = polygen(RR);
p = x^5-2*x^4+2*x^3+2*x^2-3*x
p.factor()
Subsubsection 1.1.10.3 函数图像
xxxxxxxxxx
f(x) = e^x
g(x) = taylor(f(x),x,0,5)
plot(f(x),x,-0.5,3)+plot(g(x),x,-0.5,3)
xxxxxxxxxx
P1 = plot( (x-1)*(x-2)*(x-3), 1, 6, color="red")
P2 = plot( (x-1)*(x-2)*(x-4), 1, 6, color="blue")
P3 = plot( (x-1)*(x-2)*(x-5), 1, 6, color="green")
P4 = plot( (x-1)*(x-2)*(x-6), 1, 6, color="grey")
P5 = plot( (x-1)*(x-2)*(x-7), 1, 6, color="orange")
P = P1 + P2 + P3 + P4 + P5
P.show(figsize=5)
xxxxxxxxxx
p1 = plot(sin(1/x),x,0.01,0.03,color="green")
p2 = plot(x*sin(1/x),x,0.01,0.03,color="blue")
p3 = plot(x^2*sin(1/x),x,0.01,0.03,color="red")
p1+p2+p3 # delete p1+ to see another graph
Subsection 1.1.11 本节知识图谱
Instructions.
层级从大到小: 绿--红--蓝-紫. 将鼠标放在知识点上, 可发现知识间的关系.
Subsection 1.1.12 习题 1-1
-
求下列函数的定义域:
-
下列函数是否相等? 为什么?
- 设
求 - 设
求 -
设函数
在 上有定义,求下列函数的定义域: -
作出下列函数的简图 :
-
下列函数哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些是非奇非偶函数?
- 设函数
的图形对称于直线 及 证明 是周期函数. - 试将函数
表示成一个奇函数与一个偶函数之和. - 若在
上定义的函数 既是奇函数, 又是偶函数, 试证明 - 试证
是以 1 为周期的周期函数. -
判断下列函数在定义域内的有界性、单调性及奇偶性:
-
求下列函数的反函数及其定义域:
-
下列初等函数由哪些基本初等函数复合而成:
-
已知
的定义域 求下列函数的定义域: - 设
求 的函数表达式. - 当
时,若 试证明 - 设
且 求 并写出它的定义域. - 设
且 求 - 将一块半径为
的圆形铁皮自中心处剪去圆心角为 的扇形后,把剩下的部分围成一个雉形漏斗,求漏斗的容积 与圆心角 的函数关系. - 已知将美元兄换成加拿大元时币面数值增加
将加拿大元兄换成美元时, 币面数值减少 试分别建立其函数关系, 并证明这两个函数不互为反函数. 若某人将 10000 美元兑换两次,则亏损了多少美元? - 某运输公司规定某种货物的运输收费标准为: 不超过 200 公里,每吨公里收费 6 元; 200 公里以上, 但不超过 500 公里, 每吨公里收费 4 元; 500 公里以上, 每吨公里收费 3 元, 试建立运费与路程的函数关系.
- 一无盖的长方体木箱, 容积为
高为 设底面一边的长为 试将木箱的表面积表示为 的函数. - 在一圆柱形容器内注人某种溶液, 该容器底半径为
高为 当注人溶液后液面的高度为 时, 溶液的体积为 试将 表示为 的函数, 并指出其定义区间.