Skip to main content

Section 1.1 函数

Subsection 1.1.1 集 合

Subsubsection 1.1.1.1 集合的概念

集合是指所考察的具有共同特征的对象的总体,集合简称集. 例如某校一年级学生全体组成了一个集合; 平面上过某个定点的直线全体组成了一个集合; 能够被 3 整除的自然数的全体组成了一个集合; 等等. 组成集合的每一个对象称为该集合的元素, 简称元. 通常用大写字母A,B,X,Y,表示集合, 小写字母 a,b,x,y, 表示集合的元素,若 x 是集合 A 的元素,则称 x 属于 A, 记作 xA;x 不是 A 的元素,则称 x 不属于 A, 记作 x¯AxA. 表示集合的方法通常有两种: 一种是列举法,另一种是描述法.
所谓列举法, 就是把集合中全体元素一一列举出来并写在大括号内. 例如, 由元素 a1,a2,,an 组成的集合 A,记作
A={a1,a2,,an}.
所谓描述法,就是把集合中的元素的公共特征描述出来.例如集合 B 由具有某种特性的元素 x 的全体组成,记作 B={xx 具有的特征 }. 大括号内竖线左侧是这个元素的一般形式,坚线右侧是这个集合的元素所具有的公共特征.例如,集合 M 是由满足 x24x+30x 的全体组成的集合,记作
M={xx24x+30}.
由有限个元素组成的集合称为有限集, 由无穷多个元素组成的集合称为无限集. 不含任何元素的集合称为空集,记作 . 通常用 N 表示非负整数 (自然数)集, 用 Z 表示整数集, 用 Q 表示有理数集,用 R 表示实数集, 用 C 表示复数集, 即
N={0,1,2,,n,};Z={0,±1,±2,,±n,};Q={pq|pZ,qN+,且 p 与 q 互质 }.
在表示数集的字母右上角标上的"+"表示该数集内去掉 0 和负数以后的集合. 例如,
N+={1,2,,n,}.

Subsubsection 1.1.1.2 集合的运算

A,B 是两个集合,若 A 的每个元素都是 B 的元素,则称 AB 的子集,记作 ABBA. 对于任一集合 A, 因为 A,AA, 所以 ,A 都是集合 A的子集.
若两个集合 A,B 满足 ABBA,则称集合 AB 相等,记作 A=B.AB,AB,则称 AB 的真子集. 集合有下列几种基本运算:
A,B 为两个集合, 由所有属于 A 或属于 B 的元素组成的集合,称为集合 AB 的并集 (简称并), 记作 AB,
AB={xxA 或 xB}
由所有既属于 A 又属于 B 的元素组成的集合,称为集合 AB 的交集(简称交), 记作 AB,
AB={xxA 且 xB}
由所有属于 A 但不属于 B 的元素组成的集合,称为集合 AB 的差集(简称差), 记作 AB,
AB={xxA 但 xB}
假设考察的集合都是集合 I 的子集,称 I 为全集或基本集, 称差集合 IAAI 中的余集或补集, 记作 AC,
AC=IA={xxI 但 xA,AI}
集合的运算可用图 1-1 直观表示 (图中阴影部分为运算结果).
集合的运算有下列性质:
  1. 交换律 AB=BA,AB=BA;
  2. 结合律
    A(BC)=(AB)C,A(BC)=(AB)C;
  3. 分配律
    (AB)C=(AC)(BC)(AB)C=(AC)(BC)
  4. 幂等律 AA=A,AA=A;
  5. 吸收律 A(AB)=A,A(AB)=A;
  6. 对偶律 (德・摩根律)
    (AB)C=ACBC,(AB)C=ACBC.

Subsubsection 1.1.1.3 区间

高等数学中最常用的一类数集是区间. 介于两个实数 ab 之间的全体实数构成的数集称为区间. 实数 ab 称为区间的端点,两端点间的距离 |ba| 称为区间的长度.一般有如下几种区间:
数集 {xa<x<b} 称为开区间,记作 (a,b); 数集 {xaxb} 称为闭区间, 记作 [a,b].
(a,b)={xa<x<b},[a,b]={xaxb}.
类似地有左开右闭区间 (a,b] 和左闭右开区间 [a,b) :
(a,b]={xa<xb},[a,b)={xax<b}.
以上区间都称为有限区间. 引人记号 + (读作正无穷大), (读作负无穷大) , 则可类似地定义无限区间 (或称无穷区间) :
(a,+)={xa<x<+},(,b)={x<x<b},[a,+)={xax<+},
(,b]={x<xb}(,+)={x<x<+}=R.
在不需要考虑区间的具体形式时,可简单地将其称为“区间”,并且常用 I 表示.

Subsubsection 1.1.1.4 邻域

邻域是今后常用的概念. 以点 a 为中心的任何开区间称为点 a 的邻域,记作 U(a). 对于任意的正数 δ, 开区间 (aδ,a+δ) 称为点 aδ 邻域,也简称点 a 的邻域, a 称为邻域的中心, δ 称为邻域的半径, 记作 U(a,δ),
U(a,δ)={xaδ<x<a+δ}={x||xa∣<δ},
所以 U(a,δ) 表示与 a 的距离小于 δ 的一切 x 的全体. 例如,
U(1,12)={x||x(1)∣<12}=(32,12).
U(a,δ) 中去掉邻域中心 a 的集合, 称为点 a 的去心 δ 邻域, 记作 U˙(a,δ),
U˙(a,δ)={x|0<|xa∣<δ}.
为了方便使用,有时把开区间 (aδ,a) 称为 a 的左 δ 邻域, 开区间 (a,a+δ)称为 a 的右 δ 邻域.
Checkpoint 1.1.1. 练习题.
求解下列不等式, 结果用区间格式表示.
7<3x+3<7
答案:
注记: 区间并符号 可用字母"U"代替, 例如 (0,1)[2,3] 可输入 "(0,1)U[2,3]".

Subsection 1.1.2 变量与函数的概念

观察自然与社会现象时会遇见各种不同的量, 其中有些量在所考察过程中保持不变,这种量称为常量; 另一些量在所考察过程中发生变化, 取不同的值, 这种量称为变量. 通常以 a,b,c 等表示常量, 用 x,y,z 等表示变量. 在同一过程中往往有几个变量相互联系、相互影响地变化着,遵循着一定的客观规律, 如果能用数学方式精确地描述出这些变化的因果关系, 就能把握事物的发展趋势,函数就是变量变化关系最基本的数学描述.

Example 1.1.2.

设有半径为 R 的圆, 记该圆内接正 n 边形周长为 L,则对每一个边数 n,都对应着一个确定的周长 L 的值. 这个对应规则可以用公式表示为
L=2nRsinπn

Example 1.1.3.

在真空中从高 h 处自由下落的物体, 下落距离 s 与时间 t 都是变量. 假设物体开始降落时间为 0 , 着地时间为 T, 则对于区间 [0,T] 内的每一个下落时间 t, 都对应着一个确定的下落距离 s (见图 1-2). 这个对应规则可以用公式表示为
s=12gt2.
在上面的例子中,如果对各个变量的具体意义进行抽象, 则可以看见其具有共同点: 含有两个变量, 不妨叫做 xy; 当一个变量 (例如 x ) 在某一个范围内每取定一值时, 另一个变量 (例如 y ) 按照某个法则有确定的值与之对应.

Definition 1.1.4.

定义 1 设 x,y 为两个变量, D 为一非空数集, 若对于每一个 xD,按某种法则 f, 变量 y 总有确定的值与之对应,则称 yx 的函数, 记作 y=f(x).x 称为自变量, y 称为因变量, D 称为函数的定义域, 记为 D(f).y 的一切值所成的数集称为函数的值域, 记为 W(f)={yy=f(x),xD}.
在函数定义中, 定义域 D 和对应法则 f 是两个要素, 自变量与因变量采用什么符号表示则无关紧要. 只有定义域 D 和对应法则 f 都相同的两个函数, 才能认定其为相同的函数. 例如, 3 个函数 f,g,h 分别定义为
f(x)=x2,D(f)=[0,1];g(t)=t2,D(g)=[0,1];h(x)=x2,D(h)=[1,1];
则有
f=g,fh.
在实际问题中, 函数的定义域是由实际问题的背景确定的. 例如, Example 1.1.2D(L)={nnN+,n3}, Example 1.1.3D(s)=[0,T]. 对于一般的函数, 其定义域是使因变量有确定实数值的自变量的全体所组成的集合. 例如, 函数 y=x21 的定义域是由 x210 的全体实数组成的集合,即 D=(,1][1,+); 函数 y=lnx+5x 的定义域为 0<x5,D=(0,5]. 如上所述,由实际问题的背景所确定的函数的定义域称为实际定义域,而使对应法则 f 有意义的自变量的全体称为函数的自然定义域. 今后,如果没有特别的说明,求函数的定义域通常就是求函数的自然定义域.
设函数 y=f(x) 是定义在 D 上的函数,在 xOy 平面上对于每个 xD, 可确定平面上一点 M(x,f(x)),点集
C={(x,y)y=f(x),xD}
画出平面上一条曲线, 该曲线称为 y=f(x) 的图形 (见图 1-3).
除了用一个数学式子表示函数外, 有些函数随着自变量取不同的值, 函数关系也不同, 这种函数称为分段函数.

Example 1.1.5.

符号函数
y=sgnx={1,x<00,x=01,x>0
其定义域 D=(,+), 值域 W={1,0,1} (见图 1-4).

Example 1.1.6.

例 4 取整函数
y=[x],
其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数, 即 y=[x]=k,x[k,k+1),k=0,±1,±2,, 其定义域 D=(,+)=R, 值域 W={0,±1, ±2,}=Z. 这是一个分为无限多段的分段函数, 它的图形是阶梯曲线 (见图 1-5),在 x 为整数值处图形发生跳跃, 跃度为1.
例如 [1.3]=1,[1.2]=2,[π]=4,[3]=1,[5]=5,.

Example 1.1.7.

如图 1-6 所示的图形, 在 OA 之间引一条平行于 y 轴的直线 MN, 试将直线 MN 左边阴影部分的面积 S 表示为 x 的函数.
Solution.
解 当直线 MN 上点的 x 坐标位于区间 [0,1]内, 即 x[0,1] 时, S=12x2; 当直线 MN 上点的 x 坐标位于区间 (1,2] 内, 即 x(1,2] 时, S=12×12+(x1)1=x12. 因此,
S=S(x)={12x2,0x1,x12,1<x2,
其定义域 D=[0,2], 值域 W=[0,32].
用数学公式表示函数的方法称为函数的解析表示法. 除了解析表示法外, 函数有时也可用表格法(如三角函数表、对数表等)与图形法(如气温图、心电图)等方式表示. 在函数定义中,对于定义域 D 内任一点 x, 若按照对应法则 f,y 只有唯一确 定的值与之对应,则称 y=f(x)x 的单值函数; 若 y 有两个或两个以上的值与之对应,则称 y=f(x)x 的多值函数. 对于多值函数, 通常可以限制 y 的取值范围使之成为单值函数. 例如, 由 x2+y2=1 所表示的函数 y=±1x2 和反三角函数 y=arcsinx都是多值函数. 对于 y=±1x2, 若限制 y0, 则有 y=1x2; 若限制 y0,则有 y=1x2. 此时它们都是 x 的单值函数,称它们是由 x2+y2=1 所表示的函数的两个单值分支. 而对于函数 y=arcsinx, 任取 x[1,1], 则有无穷多个 y 值与之对应. 若限制 π2yπ2,y=arcsinx 就是一个单值函数, 称为 y=arcsinx 的主值或主值分支. 其他反三角函数也有类似的情况. 今后要讨论的函数, 如果没有特别的说明, 指的都是单值函数.

Subsection 1.1.3 函数的几种性质

Subsubsection 1.1.3.1 单调性

对于区间 ID(f) 上任取的两个值 x1,x2 : 当 x1<x2 时, 恒有
f(x1)<f(x2),
则称函数 f(x)I 上是单调增加的 (见图 1-7a); 当 x1<x2 时, 恒有
f(x1)>f(x2),
则称函数 f(x)I 上是单调减少的 (见图 1-7b).
单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数, I 称为单调区间. 单调增加函数的图形表现为自左至右上升的曲线段 (见图 1-7a); 单调减少函数的图形表现为自左至右下降的曲线段 (见图 1-7b).
这里需要注意的是, 函数的单调性与自变量的取值范围有关. 例如, y=x3(,+) 是单调增加的; y=x2(,0) 是单调减少的, 在 (0,+) 是单调增加的; 而 y=sinx(π2,π2) 上是单调增加的, 在 (π2,3π2) 上是单调减少的.

Subsubsection 1.1.3.2 奇偶性

设函数 y=f(x) 的定义域 D 是关于原点对称的,若
f(x)=f(x),xD
成立,则称 f(x) 为偶函数; 若
f(x)=f(x),xD
成立,则称 f(x) 为奇函数. 偶函数的图形关于 y 轴对称, 奇函数的图形关于原点对称 (见图 1-8). 例如, y=x2,y=cosx 都是 (,+) 上的偶函数,而 y=x3,y=sinx 都是 (,+) 上的奇函数.

Subsubsection 1.1.3.3 有界性

设区间 ID(f), 若存在常数 M, 使得
f(x)M,xI
成立,则称 f(x) 在区间 I 上有上界,称 Mf(x) 的一个上界; 若存在常数 m,使得
f(x)m,xI
成立,则称 f(x) 在区间 I 上有下界,称 mf(x) 的一个下界.
在区间 I 上既有上界又有下界的函数 f(x) 称为 I上的有界函数,否则称 f(x)I 上的无界函数. f(x)I 上的有界函数 (见图 1-9) 等价于存在常数 K>0, 使得
|f(x)|K,xI.
例如 y=sinx,y=cosx(,+) 上都是有界函数. 事实上有
|sinx|1,|cosx|1,x(,+).
注意 函数 f(x) 的有界性也与自变量的取值范围有关. 例如 f(x)=lgx(0,10) 内有上界, 而无下界; 在 (0.1,+) 内有下界 -1 , 而无上界; 在区间 (0.1,10) 内有界. 事实上有
|lgx|1,x(0.1,10).

Subsubsection 1.1.3.4 周期性

设函数 y=f(x) 的定义域为 D, 若存在正数 l, 使得对于 xD,x+lD,f(x+l)=f(x) 成立,则称 f(x) 为周期函数, lf(x) 的周期. 满足上述关系的最小正数 l 称为 f(x) 的最小正周期, 通常称周期函数的周期就是指最小正周期. 例如, y=sinxy=cosx 都是以 2π 为周期的周期函数; y=tanxy= cotx 都是以 π 为周期的周期函数 ;y=x[x] 是以 1 为周期的周期函数; 常数 y= C 也可以看作周期函数,但它无最小正周期. 以 l 为周期的周期函数 f(x), 在其定义域内每个长度为 l 的区间上, 函数图形有相同的形状 (见图 1-10).

Subsection 1.1.4 反函数

在函数关系中, 自变量和因变量的关系是相对的. 在问题研究中, 有时需要对换自变量和因变量的位置. 例如, 对于Example 1.1.3 中的自由落体运动, 若要了解物体下落距离 s 是怎样随下落时间 t 变化的,则有
s=f(t)=12gt2,D(f)=[0,T],W(f)=[0,h].
若要了解物体下落距离 s 需要多少下落时间 t 时, 则有
t=φ(s)=2sg,D(φ)=[0,h],W(φ)=[0,T].
可见,在同一问题中根据研究的目标不同, 自变量和因变量的地位也会不同.

Definition 1.1.8.

定义 2 设函数 y=f(x) 的定义域为 D(f), 值域为 W(f). 如果对于 W(f)中任一 y,D(f) 中必有唯一的 x, 使得 f(x)=y, 那么把 y 看作自变量, x 看作因变量所确定的函数关系 x=f1(y)=φ(y) 称为 y=f(x) 的反函数. 相对于反函数 x=φ(y) 来说, 原来的函数 y=f(x) 称为直接函数.
如果 x=φ(y)y=f(x) 的反函数, 那么 y=f(x) 也是 x=φ(y) 的反函数, 因此, y=f(x)x=φ(y) 互为反函数. 习惯上,用 x 表示自变量, 用 y 表示函数. 因此, 反函数 x=φ(y) 可记作 y=φ(x),有时也记为 y=f1(x). 在求反函数时, 通常就是指求这种习惯上的反函数. 按照上面的定义,虽然 y=f(x) 是单值函数, 但反函数 x=φ(y) 不一定存在.例如, y=x2 的定义域 D=(,+), 值域 W=[0,+).yW 时, 有两个 x 与之对应, 即 x=±y. 因此, y=f(x)=x2 的反函数不存在. 但是, 对于 y=x2, x[0,+), 函数 y[0,+) 上是单值且单调增加, 其反函数 x=y[0,+) 上也是单值且单调增加. 一般地, 如果在区间 D 上定义的函数 y=f(x) 是单值单调的, 那么其反函数 x=φ(y)W={yy=f(x),xD} 上也是单值单调的,且单调性相同. 事实上,若函数 y=f(x) 在区间 D 上单值并且单调增加, 则任取 y1,y2W(f),y1<y2,f 的定义存在 x1,x2D, 使 φ(y1)=x1,φ(y2)=x2.x1>x2, 则由 y=f(x) 单调增加, 必有 y1>y2;x1=x2, 则显然有 y1=y2.这两种情形都与假设 y1<y2 矛盾, 故必有 x1<x2. 即反函数 x=f1(y)=φ(y)W(f) 上也单调增加. 单调减少的情况同理可证. 现在来看当 y=f(x) 为单值单调函数时, 函数 y=f(x) 与它的反函数 y= φ(x) 的图形有何关系. 因为 y=f(x)x=φ(y) 是变量 xy 的同一个方程, 所以在 xOy 平面内它们有同一个图形 (见图 1-11a). 把反函数 x=φ(y) 记为 y=φ(x) 后, 不难看出, 在同一坐标平面内, y=f(x)y=φ(x) 的图形是关于直线 y=x 对称的 (见图 1-11b).
事实上,设 P(a,b)y=f(x) 图形上的任一点,如图 1-11b 所示, b=f(a), a=φ(b). 即反函数 y=φ(x) 的图形上必有一点 Q(b,a)P(a,b) 对应, 而 PQ关于直线 y=x 对称. 同样, 对于反函数 y=φ(x) 图形上任一点也必有函数 y= f(x) 图形上的一点与之对应,而且这两点也关于直线 y=x 对称. 因此, 由 y=f(x) 的图形容易作出它的反函数 y=φ(x) 的图形.

Subsection 1.1.5 复合函数

在实际问题中往往会遇到一个函数跟另一个函数发生联系的情况. 例如, 在匀加速直线运动中, 要研究动能与时间 t 的关系时, 因为物体的动能为 E=12mv2,而且物体的运动速度 v=at (其中 m 为物体的质量, a 为常数), 因此将 v=at 代人 E=12mv2
E=12ma2t2.
这个函数就是 E=12mv2v=at 的复合函数.

Definition 1.1.9.

定义 3 设函数 y=f(u) 定义域为 D(f), 函数 u=φ(x) 的值域为 W(φ). 如果 D(f)W(φ), 则称函数 y=f[φ(x)]y=f(u)u=φ(x) 的复合函数, u 称为中间变量.
函数 y=f(u) 与函数 u=φ(x) 的复合函数通常记为 fφ,
(fφ)(x)=f[φ(x)].
由定义可知,复合函数 f[φ(x)] 的定义域或者是 φ(x) 的定义域的一部分, 或者与 φ(x) 的定义域完全相同.

Example 1.1.10.

设函数 y=cos2u,u=x3, 则复合函数为 y=cos2x3, 定义域为 (,+),它与 u=x3 的定义域完全相同.

Example 1.1.11.

例 7 设函数 y=u,u=1x2, 则复合函数为 y=1x2 的定义域为 [1,1], 它与 u=1x2 的定义域 (,+) 不同, 是后者的一部分.

Example 1.1.12.

例 8 函数 y=1uu=x2+2 无法复合.
因为函数 y=1u 的定义域为 D(f)=(,1], 而函数 u=x2+2 的值域为 W(φ)=[2,+), 因此 D(f)W(φ)=. 所以函数 y=1uu=x2+2不能构成复合函数.

Example 1.1.13.

例 9 设 f(x)={ex,x<1,x,x1,φ(x)={x+2,x<0,x21,x0,f[φ(x)].
Solution.
f[φ(x)]={eφ(x),φ(x)<1φ(x),φ(x)1.
  1. φ(x)<1 时, 由 x<0φ(x)=x+2<1,x<1,x0φ(x)=x21<1,0x<2.
  2. φ(x)1 时, 由 x<0φ(x)=x+21,1x<0,x0φ(x)=x211,x2.
所以
f[φ(x)]={ex+2,x<1,x+2,1x<0,ex21,0x<2,x21,x2.
复合函数也可以由多个函数复合而成. 例如, 由 y=cos2u,u=t3,t=ex, 则可以得到 y=cos2(e3x). 实际上, 对于一个给定的复合函数, 真正关注的是要搞清楚它是由哪些简单的函数、经过哪些层次复合起来的. 例如, y=lntan2x 是由 y=u,u=lnv,v=w2,w=tanx 等 4 个简单函数复合而成的; y=cos1+ex2 是由 y=cosu,u=v,v=1+w,w=et,t=x2 等 5 个简单函数复合而成的.

Subsection 1.1.6 函数的四则运算

f(x),g(x) 的定义域分别为 D(f)D(g),D=D(f)D(g), 则可以定义这两个函数的四则运算:
  1. 加减法 (f±g)(x)=f(x)±g(x),xD;
  2. 乘法 (fg)(x)=f(x)g(x),xD;
  3. 除法 (fg)(x)=f(x)g(x),xD{xg(x)=0}.

Example 1.1.14.

例 10 设函数
f(x)={1x,x<0,2,0x<1,x,x1,g(x)={1+x,x<1,1,1x0,x,x>0,
试写出函数 F(x)=f(x)+g(x) 的表达式, 并求 F(3),F(0.5),F(0.3),F(2) 的值.
Solution.
解 函数 F(x) 的定义域 D=(,+), 由于 f(x)g(x) 都是分段函数,且分界点不全相同,一般说来 F(x) 也是分段函数, 且以 f(x)g(x) 的所有分界点作为分界点, 可列表如下:
Table 1.1.15.
x (,1) 1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,+)
f(x) 1x 2 x
g(x) 1+x 1 x
F(x) 2 x 1 2x 0
于是有 F(x)={2,x<1,x,1x<0,1,x=0,2x,0<x<1,0,x1, 且有 F(3)=2,F(0.5)=0.5,F(0.3)=1.7,F(2)=0.

Example 1.1.16.

例 11 设 f(x) 是定义在 (l,l) 上的函数,试证明在 (l,l) 内, f(x) 可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和.
Solution.
证 令 g(x)=12[f(x)+f(x)],h(x)=12[f(x)f(x)],
f(x)=g(x)+h(x).
因为 g(x)=12[f(x)+f(x)]=g(x), 所以 g(x) 是偶函数. 又因为 h(x)=12[f(x)f(x)]=h(x), 所以 h(x) 是奇函数. 这就证明了在 (l,l)f(x) 可表示为一个偶函数与一个奇函数之和.

Subsection 1.1.7 初等函数

在中学数学已经讨论过以下几种函数:
  1. 常数函数: y=C ( C 为常数).
  2. 幂函数: y=xμ (常数 μR).
  3. 指数函数: y=ax(a>0,a1).0<a<1 时, ax 单调减少; 当 a>1时, ax 单调增加.
    特别地, 当 a=e 时, y=ex, 其中常数 e=2.718281828459045 是一个无理数, 这个以 e 为底的指数函数在科学技术的理论研究和实际应用中经常用到, e 的意义将在 Subsection 1.2.4 中叙述.
  4. 对数函数: y=logax(a>0a1).0<a<1 时, logax 单调减少; 当 a>1 时, logax 单调增加. 特别地, 当 a=e 时, y=logex 记作 y=lnx, 它称为自然对数函数.
  5. 三角函数: y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx 都是周期函数,并且其中 sinx,tanx,cotx 都是奇函数,而 cosx 是偶函数.
  6. 反三角函数: y=sinx,x[π2,π2] 的反函数 y=arcsinx[1,1] 上单调增加; y=cosx,x[0,π] 的反函数 y=arccosx[1,1] 上单调减少; y=tanx,x(π2,π2) 的反函数 y=arctanx(,+) 上单调增加; y=cotx,x(0,π) 的反函数 y=arccotx(,+) 上单调减少.
以上几类函数称为基本初等函数. 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所得到的并且能用一个数学式子表示的函数称为初等函数.
例如 , y=sin2(3x+1), y=1(lncosx)2, y=lgx+x3+2tanx10xx+1 等都是初等函数. 但是,一般的分段函数不是初等函数. 如Example 1.1.5Example 1.1.6 中的符号函数和取整函数都不是初等函数。

Example 1.1.17.

例 12 一个正圆锥外切于半径为 R 的半球, 半球的底面在圆雉的底面上 (剖面见图 1-12), 试将圆雉的体积表示为圆雉底半径 r 的函数.
Solution.
解 按题意,半球大小不变, 它的半径 R 为常量, 圆雉的体积随着它的高 h 与底半径 r 而定, 则
V=13πr2h.
现在要将 hr 表示出来, 由图 1-12 可知, CD=r2R2, 由于 AMD∽∼ MCD, 所以
rr2R2=hR,h=rRr2R2.
于是得
V=13πr3Rr2R2,R<r<+

Example 1.1.18.

例 13 曲柄连杆机构 (见图 1-13) 是利用曲柄 OC 的旋转运动, 通过连杆 CB使滑块 B 做往复直线运动, 设 OC=r,BC=l, 曲柄以等角速度 ωO 旋转, 求滑块位移的大小 S 与时间 t 之间的函数关系 (假定曲柄 OC 开始做旋转运动时, C 在点 A 处).
Solution.
解 由图 1-13 可知, S=OD+DB,OD=rcosθ,CD=rsinθ,θ=ωt.
于是
OD=rcosωt,CD=rsinωt
而在直角三角形 CDB 中, DB=l2r2sin2ωt.
S=rcosωt+l2r2sin2ωt(0t<+).

Example 1.1.19.

例 14 某工厂生产某型号车床, 年产量为 a 台, 分若干批进行生产, 每批生产准备费为 b 元, 设产品均匀投人市场, 且上一批用完后立即生产下一批, 即平均库存量为批量的一半. 设每年每台库存费为 c 元. 显然, 生产批量大则库存费高, 生产批量少则批数增多, 因而生产准备费高. 试求一年中库存费同生产准备费之和与批量的函数关系.
Solution.
解 设批量为 x,库存费同生产准备费之和为 P(x). 因为年产量为 a, 所以每年生产的批数为 ax (设其为整数), 则生产准备费为
bax.
又因为平均库存量为 x2, 故库存费为 cx2. 因此, 可得
P(x)=bax+cx2=abx+cx2.
函数的定义域为 (0,a] 中的正整数因子.

Example 1.1.20.

例 15 某运输公司规定货物的吨公里运价为: 在 a 公里以内,每公里 k 元; 超过 a 公里部分,每公里为 45k 元. 求运价 m 和里程 s 之间的函数关系.
Solution.
解 根据题意可列出函数关系:
m={ks0<saka+45k(sa),s>a
这里运价 m 和里程 s 的函数关系是用分段函数表示的, 函数的定义域为 (0,+).

Technology 1.1.21. 初等函数图像.

通过下图的交互, 你可以画出课本上的大部分图形. 注意: 下图选中颜色后按回车键确认选色.
Figure 1.1.22. 用数学软件画图

Subsection 1.1.8 双曲函数与反双曲函数

在工程技术中常用到一类被称为双曲函数的初等函数, 它们定义如下:
  1. 双曲正弦 shx=exex2, 定义域为 (,+), 值域为 (,+);
  2. 双曲余弦 chx=ex+ex2, 定义域为 (,+), 值域为 [1,+);
  3. 双曲正切 thx=shxchx=exexex+ex, 定义域为 (,+), 值域为 (1,1).以上函数图形见图 1-14.
显然, shx 与 th x 都是奇函数, chx 是偶函数; 由于 th x∣<1, 所以 th x 是有界函数; 在 (0,+)shx,chx,thx 都是单调增加的. 双曲函数有类似于三角函数的一些性质. 容易验证
sh(x±y)=shxchy±chxshy,ch(x±y)=chxchy±shxshy,sh2x=2shxchx,ch2x=2ch2x1,ch2xsh2x=1.
双曲函数 y=shx,y=chx(x0),y=thx 的反函数分别定义为
  1. 反双曲正弦 y=arshx;
  2. 反双曲余弦 y=archx;
  3. 反双曲正切 y=arthx.
此外, 反双曲函数也可以从双曲函数的定义中反解出来, 并用对数函数表示. 例如, 由双曲正弦 y=exex2 可解得 ex=y±y2+1,ex 不取负值, 故舍去 ``"号便得
x=ln(y+y2+1),
x 表示自变量, y 表示函数,则反双曲正弦函数为
y=arshx=ln(x+x2+1),
其定义域为 (,+), 值域为 (,+). 又如, 由双曲余弦 y=ex+ex2 可解得 ex=y±y21,
x=ln(y±y21)=±ln(y+y21).
由此可知, 双曲余弦的反函数是双值的. 取其正值的一支作为该函数的主值,于是有
x=ln(y+y21),
x 表示自变量, y 表示函数,则反双曲余弦函数为
y=archx=ln(x+x21),
其定义域为 [1,+), 值域为 [0,+) 类似地,还可得
y=arthx=12ln1+x1x,
其定义域为 (1,1), 值域为 [,+). 这 3 个反双曲函数的图形分别如图 1-15(a~c) 所示.

Subsection 1.1.9 * 映 射

函数是一种特殊的映射,下面介绍映射的概念.

Definition 1.1.23.

定义 4 设 X,Y 是两个非空集合, 若存在一个法则 f, 使得对于 X 中每个元素 x, 按法则 f,Y 中有唯一确定的元素 y 与之对应, 则称法则 f 为从 XY 的映射, 记作
f:XY
这时称元素 y 为元素 x 在映射 f 下的像,并记作 f(x),y=f(x); 而元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像; 集合 X 称为映射 f 的定义域, 记作 D(f),D(f)=X; X 中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域, 记作 W(f)f(X),
W(f)=f(X)={f(x)xX}

Definition 1.1.24.

定义 5 设 f 是从 XY 的映射, 若 W(f)=Y,Y 中任一元素 y 都是 X中某一元素的像,则称 f 是从 XY 的满射; 若对于 X 中任意两个不同元素 x1x2, 总有 f(x1)f(x2), 则称 f 是从 XY 的单射; 若映射 f 既是单射, 又是满射,则称 fxy 的一一映射 (或双射).
例如, f:RR, 对任一 xR,f(x)=x2 是一个映射, 但不是单射, 也不是满射,其值域 W(f)=f(R)={yy0}R 的一个真子集; 而 f:RY,Y={y||y∣⩽1}, 对任一 xR,y=f(x)=sinx 是一个满射, 但不是单射, 对任一 yW(f)=Y,D(f)=R 中有很多个原像, 如 y=0, 有原像 x=kπ,kZ; 再如 , f:[1,4][1,2],y=f(x)=x 是一个一一映射(双射).

Definition 1.1.25.

定义 6 设 f 是从 XY 的单射,则对任一 yW(f),有唯一的 xX,使 f(x)=y,于是可以导出一个从 W(f)X 的映射 g, 它称为 f 的逆映射, 记为 f1,
g=f1:W(f)X
对任一 yW(f), 规定 g(y)=f1(y)=x. 由此可见, f1 的定义域 D(f1)=W(f), 值域 W(f1)=X, 故只有单射 f 才存在逆映射。 例如 ,f:[0,π][1,1],y=f(x)=cosx 存在逆映射 x=f1(y)=arccosy.

Definition 1.1.26.

定义 7 设有两个映射 g:XY1,f:Y2Z,Y1Y2, 则由 h(x)= f[g(x) ] 所确定的映射 h:XZ 称为 gf 的复合映射, 记作 h=fg,
h=fg:XZ,(fg)(x)=f[g(x)],xX.
应当注意,上述复合映射概念中,只有当 Y1Y2,W(g)D(f) 中时才能复合.
例如, 映射 g:R[1,1], 对任 一 xR,g(x)=sinx, 映射 f:[1,1] [0,1], 对任一 u[1,1],f(u)=1u2, 则有复合映射
(fg)(x)=f[g(x)]=f(sinx)=1sin2x=|cosx|.
因此,函数 f:Df(D) 是从实数集到实数集的映射; 若函数 f 是一个单射,则它的逆映射 f1:f(D)D 为函数 f 的反函数.

Subsection 1.1.10 SageMath的基本功能

Subsubsection 1.1.10.1 计算器功能

点击Evaluate(Sage), 获取结果.

Subsubsection 1.1.10.2 求解方程功能

Subsubsection 1.1.10.3 函数图像

Help | Powered by SageMath

Messages

Subsection 1.1.11 本节知识图谱

Instructions.

层级从大到小: 绿--红--蓝-紫. 将鼠标放在知识点上, 可发现知识间的关系.
Figure 1.1.27. 第一章第一节知识图谱

Subsection 1.1.12 习题 1-1

  1. 求下列函数的定义域:
    1. f(x)=x+1x2x2;
    2. f(x)=log3(4x)x2;
    3. f(x)=x+2sinπx;
    4. f(x)=arccos(2sinx);
    5. f(x)=sinx+16x2;
    6. f(x)=1xx2.
  2. 下列函数是否相等? 为什么?
    1. f(x)=x2,g(x)=|x|;
    2. f(x)=sin(3x2+1),g(t)=sin(3t2+1);
    3. f(x)=x24x2,g(x)=x+2.
  3. f(x1)=x2,f(x+1).
  4. φ(x)=x2+x+1,φ(x2),[φ(x)]2,φ[φ(x)].
  5. 设函数 f(x)[0,1] 上有定义,求下列函数的定义域:
    1. f(x+1);
    2. f(sinx);
    3. f(logax);
    4. f(ax).
  6. 作出下列函数的简图 :
    1. y=x+1;
    2. y=sin2(x+π3);
    3. y=x2,0x1,
    4. y=12(sinx+|sinx|);
    5. y=x[x];
    6. y=|x2|.
  7. 下列函数哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些是非奇非偶函数?
    1. y=sin(2x+1);
    2. y=|x|sin1x;
    3. y=ln(x+x2+1);
    4. y=cos(sinx);
    5. y=[x];
    6. y=sgnx={1,x>0,0,x=0,1,x<0.
  8. 设函数 y=f(x)(<x<+) 的图形对称于直线 x=ax=b(a<b), 证明 f(x)是周期函数.
  9. 试将函数 f(x)=1+x3 表示成一个奇函数与一个偶函数之和.
  10. 若在 [l,l] 上定义的函数 f(x) 既是奇函数, 又是偶函数, 试证明 f(x)0.
  11. 试证 f(x)=x[x] 是以 1 为周期的周期函数.
  12. 判断下列函数在定义域内的有界性、单调性及奇偶性:
    1. y=x1+x2;
    2. y=x+lnx;
    3. y=ex;
    4. y=x+|x|.
  13. 求下列函数的反函数及其定义域:
    1. y=1x1+x;
    2. y=34x+5;
    3. y=1+2lnx2lnx3;
    4. y={x2,x1,2x1,x<1
    5. y=axax+1;
    6. y=4arcsin1x2,x[0,1].
  14. 下列初等函数由哪些基本初等函数复合而成:
    1. y=(sinx2)5;
    2. y=tanlnx;
    3. y=arccos1x33;
    4. y=cos(sinex).
  15. 已知 f(x) 的定义域 [0,1], 求下列函数的定义域:
    1. y=f(2sinx);
    2. y=f(e2lnx);
    3. y=f(4arctanxπ);
    4. y=f(12+t4)+f(32t2);
  16. f(x)=x1+x2(x0),f(f(f(x)))n 次复合  的函数表达式.
  17. x0 时,若 f(x)=xg(1x), 试证明 g(x)=xf(1x).
  18. f(x)=ex2,f[φ(x)]=1x,φ(x)0,φ(x), 并写出它的定义域.
  19. f(x)=ax2+bx+c,f(0)=1,f(x+1)=f(x)+2x,f(x).
  20. 将一块半径为 R 的圆形铁皮自中心处剪去圆心角为 α 的扇形后,把剩下的部分围成一个雉形漏斗,求漏斗的容积 V 与圆心角 α 的函数关系.
  21. 已知将美元兄换成加拿大元时币面数值增加 12%,将加拿大元兄换成美元时, 币面数值减少 12%,试分别建立其函数关系, 并证明这两个函数不互为反函数. 若某人将 10000 美元兑换两次,则亏损了多少美元?
  22. 某运输公司规定某种货物的运输收费标准为: 不超过 200 公里,每吨公里收费 6 元; 200 公里以上, 但不超过 500 公里, 每吨公里收费 4 元; 500 公里以上, 每吨公里收费 3 元, 试建立运费与路程的函数关系.
  23. 一无盖的长方体木箱, 容积为 1 m3, 高为 2 m, 设底面一边的长为 x m,试将木箱的表面积表示为 x 的函数.
  24. 在一圆柱形容器内注人某种溶液, 该容器底半径为 R, 高为 H, 当注人溶液后液面的高度为 h 时, 溶液的体积为 V, 试将 h 表示为 V 的函数, 并指出其定义区间.