函数的求导方法初等函数的导数

Section 2.2 函数的求导方法初等函数的导数

确定函数的变化率—导数, 是理论研究和实际应用中经常遇到的问题. 但根据定义求导往往非常烦琐, 有时甚至是不可行的. 许多初等函数是由基本初等函数经过若干次四则运算和复合运算而得到的,因此求初等函数的导数就是求基本初等函数的导数及函数的和、差、积、商的求导法则和复合函数求导法则. 本节将介绍求导的一般法则和求导方法,使求导运算变得更为简便.

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Subsection 2.2.1 几个基本初等函数的导数公式

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现在利用2.1.1中给出的导数定义来求基本初等函数

\sin x, \cos x, \log_{a} x

和

a^{x}

的导数公式.

$y = \sin x$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{\sin (x + Δ x) - \sin x}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{2 \cos (x + \frac{Δ x}{2}) \sin \frac{Δ x}{2}}{Δ x} \\ = lim_{Δ x \to 0} \cos (x + \frac{Δ x}{2}) \frac{\sin \frac{Δ x}{2}}{\frac{Δ x}{2}} = \cos x, \end{aligned}$

故 $(\sin x)^{'} = \cos x (- \infty < x < + \infty) .$
$y = \cos x$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{\cos (x + Δ x) - \cos x}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{- 2 \sin (x + \frac{Δ x}{2}) \sin \frac{Δ x}{2}}{Δ x} \\ = - lim_{Δ x \to 0} \sin (x + \frac{Δ x}{2}) \frac{\sin \frac{Δ x}{2}}{\frac{Δ x}{2}} = - \sin x, \end{aligned}$

故 $(\cos x)^{'} = - \sin x (- \infty < x < + \infty) .$
$y = \log_{a} x (a > 0, a \neq 1)$

$\frac{d y}{d x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{\log_{a} (x + Δ x) - \log_{a} x}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \log_{a} {(1 + \frac{Δ x}{x})}^{\frac{1}{Δ x}} = \frac{1}{x} \log_{a} e = \frac{1}{x \ln a},$

故

${(\log_{a} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln a}$

特别地, 当 $a = e$ 时, $(\ln x)^{'} = \frac{1}{x} .$
$y = a^{x} (a > 0, a \neq 1)$

$\frac{d y}{d x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{a^{x + Δ x} - a^{x}}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} a^{x} \frac{a^{Δ x} - 1}{Δ x} = a^{x} lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ x \cdot \ln a}{Δ x} = a^{x} \ln a,$

$故 {(a^{x})}^{'} = a^{x} \ln a .$

特别地, 当 $a = e$ 时, ${(e^{x})}^{'} = e^{x} .$ 可见, 虽然 $e$ 是一个无理数, 但选取它作指数函数或对数函数的底, 将使这些函数的求导较为简单.

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Subsection 2.2.2 函数的和、差、积、商的求导法则

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Theorem 2.2.1.

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定理 1 设

u (x), v (x)

在

x

处可导, 则

u (x) \pm v (x), u (x) \cdot v (x), \frac{u (x)}{v (x)} (v (x) \neq 0)

也都在

x

点处可导, 且

$[u (x) \pm v (x)]^{'} = u^{'} (x) \pm v^{'} (x);$
$[u (x) \cdot v (x)]^{'} = u^{'} (x) v (x) + u (x) v^{'} (x);$
${[\frac{u (x)}{v (x)}]}^{'} = \frac{u^{'} (x) v (x) - u (x) v^{'} (x)}{v^{2} (x)} (v (x) \neq 0) .$

Proof.

设 $y = u (x) \pm v (x),$ 则

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{[u (x + Δ x) \pm v (x + Δ x)] - [u (x) \pm v (x)]}{Δ x} \\ = lim_{Δ x \to 0} [\frac{u (x + Δ x) - u (x)}{Δ x} \pm \frac{v (x + Δ x) - v (x)}{Δ x}] = lim_{Δ x \to 0} (\frac{Δ u}{Δ x} \pm \frac{Δ v}{Δ x}) \\ = u^{'} (x) \pm v^{'} (x), \end{aligned}$

$故 [u (x) \pm v (x)]^{'} = u^{'} (x) \pm v^{'} (x) .$
设 $y = u (x) v (x),$ 则

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{u (x + Δ x) v (x + Δ x) - u (x) v (x)}{Δ x} \\ = lim_{Δ x \to 0} \frac{[u (x + Δ x) v (x + Δ x) - u (x) v (x + Δ x)] + [u (x) v (x + Δ x) - u (x) v (x)]}{Δ x} \end{aligned}$

$= lim_{Δ x \to 0} [\frac{Δ u}{Δ x} v (x + Δ x) + u (x) \frac{Δ v}{Δ x}] = \frac{d u}{d x} v (x) + u (x) \frac{d v}{d x},$

从而

$[u (x) v (x)]^{'} = u^{'} (x) v (x) + u (x) v^{'} (x) .$
设 $y = \frac{u (x)}{v (x)} (v (x) \neq 0),$ 则

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{\frac{u (x + Δ x)}{v (x + Δ x)} - \frac{u (x)}{v (x)}}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{u (x + Δ x) v (x) - u (x) v (x + Δ x)}{v (x) v (x + Δ x) \cdot Δ x} \\ = lim_{Δ x \to 0} \frac{u (x + Δ x) v (x) - u (x) v (x) + u (x) v (x) - u (x) v (x + Δ x)}{v (x) v (x + Δ x) \cdot Δ x} \\ = lim_{Δ x \to 0} \frac{1}{v (x) v (x + Δ x)} [\frac{Δ u}{Δ x} v (x) - \frac{Δ v}{Δ x} u (x)] = \frac{u^{'} (x) v (x) - u (x) v^{'} (x)}{v^{2} (x)} . \end{aligned}$

即

${[\frac{u (x)}{v (x)}]}^{'} = \frac{u^{'} (x) v (x) - u (x) v^{'} (x)}{v^{2} (x)}$

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Corollary 2.2.2.

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推论设

u_{1} (x), u_{2} (x), \dots, u_{m} (x)

在点

x

处可导, 则有

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${[u_{1} (x) + u_{2} (x) + \dots u_{m} (x)]}^{'} = u_{1}^{'} (x) + u_{2}^{'} (x) + \dots + u_{m}^{'} (x);$
${[C u_{i} (x)]}^{'} = C u_{i}^{'} (x) (i = 1, 2, \dots, m),$ 其中 $C$ 为常数;
${[u_{1} (x) u_{2} (x) \dots u_{m} (x)]}^{'} = u_{1}^{'} (x) u_{2} (x) \dots u_{m} (x) + u_{1} (x) u_{2}^{'} (x) \dots$ $u_{m} (x) + \dots + u_{1} (x) \dots u_{m - 1} (x) u_{m}^{'} (x) .$

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利用求导法则, 可以求出除

\sin x, \cos x

外其他三角函数的导数.

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Example 2.2.3.

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例 1 求

\tan x, \cot x, \sec x, \csc x

的导数.

Solution.

解利用Theorem 2.2.1有

\begin{aligned} (\tan x)^{'} & = {(\frac{\sin x}{\cos x})}^{'} = \frac{(\sin x)^{'} \cos x - \sin x (\cos x)^{'}}{\cos^{2} x} \\ = \frac{\cos^{2} x + \sin^{2} x}{\cos^{2} x} = \frac{1}{\cos^{2} x} = \sec^{2} x \end{aligned}

类似可得

\begin{matrix} (\cot x)^{'} = - \frac{1}{\sin^{2} x} = - \csc^{2} x \\ (\sec x)^{'} = {(\frac{1}{\cos x})}^{'} = \frac{1^{'} \cos x - 1 (\cos x)^{'}}{\cos^{2} x} = \frac{\sin x}{\cos^{2} x} = \sec x \tan x \\ (\csc x)^{'} = - \csc x \cot x . \end{matrix}

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Example 2.2.4.

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例 2 设

y = 6 a^{x} + 3 \log_{a} x + x^{10} + \sin \frac{π}{12},

求

y^{'} .

Solution.

解

y^{'} = 6 a^{x} \ln a + \frac{3}{x \ln a} + 10 x^{9} .

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Example 2.2.5.

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例 3 设

y = x e^{x} \sin x,

求

y^{'} .

Solution.

解

y^{'} = x^{'} e^{x} \sin x + x {(e^{x})}^{'} \sin x + x e^{x} (\sin x)^{'}

= e^{x} \sin x + x e^{x} \sin x + x e^{x} \cos x

= e^{x} (\sin x + x \sin x + x \cos x) .

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Example 2.2.6.

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例 4 求函数

y = (x^{n} + \cos x) \sin x

的导数.

Solution.

解

y^{'} = {(x^{n} + \cos x)}^{'} \sin x + (x^{n} + \cos x) (\sin x)^{'}

= (n x^{n - 1} - \sin x) \sin x + (x^{n} + \cos x) \cos x

= x^{n - 1} (n \sin x + x \cos x) + \cos 2 x .

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Example 2.2.7.

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例 5 设

y = \frac{e^{x} + \sin x}{\sqrt{x}},

求

y^{'} .

Solution.

解

y^{'} = \frac{\sqrt{x} {(e^{x} + \sin x)}^{'} - (e^{x} + \sin x) (\sqrt{x})^{'}}{(\sqrt{x})^{2}}

= \frac{\sqrt{x} (e^{x} + \cos x) - (e^{x} + \sin x) \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{x}

= \frac{(2 x - 1) e^{x} + 2 x \cos x - \sin x}{2 x \sqrt{x}} .

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Example 2.2.8.

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例 6 (基因数据及其对变化的敏感性) 一般地, 当

x

较小的变化引起函数值

f (x)

较大的变化时, 就称该函数对

x

的变化是相对敏感的. 导数

f^{'} (x)

是这种敏感性的度量方法. 奥地利遗传学家孟德尔在花园里种植豌豆和其他植物, 发现了遗传规律、分离规律和自由组合规律. 他的研究表明,如果

p

( 0 和 1 之间的一个数) 是使豌豆表皮光滑基因 (优势基因)的频率,而

1 - p

是使豌豆表皮起皱基因的频率, 那么表皮光滑踠豆在下一代中占有的比例为

y = 2 p (1 - p) + p^{2} = 2 p - p^{2},

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从而

\frac{d y}{d p} = 2 - 2 p

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在图 2-7(a) 中, 当

p

较小时,

y

对

p

变化的影响比

p

较大时更为敏感. 确实,图 2-7(b) 的导数图形证实了这一事实, 该图形表明当

p

在 0 附近时

\frac{d y}{d p}

接近 2 , 而当

p

在 1 附近时

\frac{d y}{d p}

接近 0 .

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该导数在遗传学中的含意为: 在高度隐性的群体(如表皮起皱踠豆的频率大的群体)和高度优势的群体中引进稍多一点的优势基因, 前者比后者对下一代优势基因的增加有更加显著的影响.

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Subsection 2.2.3 反函数的求导法则

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对于任意给定的函数,一般说来其反函数未必存在,但如果

f (x)

是某区间

I

上的单值单调的连续函数, 那么它的反函数

x = φ (y)

在相应的区间

I^{'}

上也是单值单调的连续函数,这样我们有以下定理.

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Theorem 2.2.9.

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定理 2 ( 反函数求导法则) 设函数

x = φ (y)

在某区间

I

上的点

y

处可导,且

φ^{'} (y) \neq 0,

则其反函数

y = φ^{- 1} (x) = f (x)

在相应的点

x \in I^{'}

处也可导, 且

\begin{matrix} (2.2.1) & f^{'} (x) = \frac{1}{φ^{'} (y)} \end{matrix}

Proof.

证因为函数

x = φ (y)

在某区间

I

上单调连续, 由 Theorem 1.3.24知, 反函数

y = φ^{- 1} (x) = f (x)

在相应区间

I^{'}

上也单调连续. 任取

x \in I^{'},

给

x

以增量

Δ x (Δ x \neq 0, x + Δ x \in I^{'}),

由

y = f (x)

的单调性, 有

Δ y = f (x + Δ x) - f (x) \neq 0,

且由

x = φ (y)

的连续性, 当

Δ y \to 0

时,

Δ x \to 0;

由

y = φ^{- 1} (x) = f (x)

的连续性, 当

Δ y \to 0

时,

Δ x \to 0,

故即

\begin{matrix} \frac{d y}{d x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{1}{\frac{Δ x}{Δ y}} = \frac{1}{lim_{Δ y \to 0} \frac{Δ x}{Δ y}} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}}, \\ f^{'} (x) = \frac{1}{φ^{'} (y)} . \end{matrix}

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利用反函数的求导法则, 可以求出另一些基本初等函数的导数公式.

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Example 2.2.10.

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例 7 求反正弦函数

y = \arcsin x

的导数.

Solution.

解由于

y = \arcsin x

是

x = φ (y) = \sin y, y \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

的反函数, 由Theorem 2.2.9 有

y^{'} = (\arcsin x)^{'} = \frac{1}{(\sin y)^{'}} = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} y}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} (- 1 < x < 1) .

类似地, 有

(\arccos x)^{'} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} (- 1 < x < 1)

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Example 2.2.11.

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例 8 求反正切函数

y = \arctan x

的导数.

Solution.

解

y = \arctan x

是

x = \tan y (- \frac{π}{2} < y < \frac{π}{2})

的反函数, 由定理 2 , 有

y^{'} = (\arctan x)^{'} = \frac{1}{(\tan y)^{'}} = \frac{1}{\sec^{2} y} = \frac{1}{1 + \tan^{2} y} = \frac{1}{1 + x^{2}} .

类似地,有

(arccot x)^{'} = - \frac{1}{1 + x^{2}}

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Subsection 2.2.4 复合函数的求导法则

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Theorem 2.2.12. (复合函数求导法则).

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定理 3(复合函数求导法则) 如果

u = φ (x)

在点

x

可导,而

y = f (u)

在

u =

φ (x)

可导, 那么复合函数

y = f [φ (x)]

在点

x

可导, 且其导数为

Proof.

\frac{d y}{d x} = f^{'} (u) \cdot φ^{'} (x)

即

\begin{matrix} (2.2.2) & \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} . \end{matrix}

证设

x

有增量

Δ x \neq 0,

相应地

u = φ (x)

有增量

Δ u,

当

Δ u \neq 0

时, 函数

y

有增量

Δ y .

因为

y = f (u)

在点

u

处可导, 所以有

lim_{Δ u \to 0} \frac{Δ y}{Δ u} = f^{'} (u)

故

\frac{Δ y}{Δ u} = f^{'} (u) + α, 其中 lim_{Δ u \to 0} α = 0,

从而

\begin{matrix} (2.2.3) & Δ y = f^{'} (u) Δ u + α Δ u . \end{matrix}

当

Δ u = 0

时,

Δ y = f (u + Δ u) - f (u) = 0,

(2.2.3) 仍成立, 两边除以

Δ x \neq 0,

有

\frac{Δ y}{Δ x} = f^{'} (u) \frac{Δ u}{Δ x} + α \frac{Δ u}{Δ x},

于是

\begin{matrix} (2.2.4) & \frac{d y}{d x} = lim_{Δ x \to 0} [f^{'} (u) \frac{Δ u}{Δ x} + α \frac{Δ u}{Δ x}] . \end{matrix}

当

Δ x \to 0

时,

Δ u \to 0,

lim_{Δ x \to 0} [f^{'} (u) \frac{Δ u}{Δ x}] = f^{'} (u) \frac{d u}{d x},

代入(2.2.4),有

\frac{d y}{d x} = f^{'} (u) \frac{d u}{d x} = f^{'} (u) φ^{'} (x) .

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Example 2.2.13.

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例 9 求

y = {(2 x - \frac{3}{x})}^{10}

的导数.

Solution.

解设

y = u^{10}, u = 2 x - \frac{3}{x},

则

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x} = \frac{d}{d u} (u^{10}) \cdot \frac{d}{d x} (2 x - \frac{3}{x}) = 10 u^{9} (2 + \frac{3}{x^{2}}) = 10 (2 + \frac{3}{x^{2}}) {(2 x - \frac{3}{x})}^{9} .

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Example 2.2.14.

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例 10 求幂函数

y = x^{μ}

的导数.

Solution.

解

y = x^{μ} = e^{μ \ln x},

设

y = e^{u}, u = μ \ln x,

故

\frac{d y}{d x} = {(e^{u})}^{'} u_{x}^{'} = e^{u} \frac{μ}{x} = e^{μ \ln x} \frac{μ}{x} = x^{μ} \cdot \frac{μ}{x} = μ x^{μ - 1} .

即对任意实数

μ

有

{(x^{μ})}^{'} = μ x^{μ - 1} .

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Example 2.2.15.

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例 11 求双曲函数

sh x, ch x,

x,

cth

x

的导数.

Solution.

解

(sh x)^{'} = {(\frac{e^{x} - e^{- x}}{2})}^{'} = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = ch x;

(ch x)^{'} = {(\frac{e^{x} + e^{- x}}{2})}^{'} = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} = sh x;

(th x)^{'} = {(\frac{sh x}{ch x})}^{'} = \frac{(sh x)^{'} ch x - sh x (ch x)^{'}}{{ch}^{2} x} = \frac{{ch}^{2} x - {sh}^{2} x}{{ch}^{2} x} = \frac{1}{{ch}^{2} x};

(cth x)^{'} = {(\frac{ch x}{sh x})}^{'} = \frac{{sh}^{2} x - {ch}^{2} x}{{sh}^{2} x} = - \frac{1}{{sh}^{2} x} .

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Example 2.2.16.

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例 12 求反双曲正弦函数

y = arsh x

的导数.

Solution.

解

y = arsh x

是

x = sh y

的反函数, 所以

y^{'} = (arsh x)^{'} = \frac{1}{(sh y)^{'}} = \frac{1}{ch y} = \frac{1}{\sqrt{1 + {sh}^{2} y}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} .

类似地, 可得

\begin{aligned} (arch x)^{'} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}; \\ (arth x)^{'} = \frac{1}{1 - x^{2}} . \end{aligned}

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Example 2.2.17.

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例 13 求

y = \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}})

的导数.

Solution.

解通常可以不写出中间变量, 于是

\begin{aligned} y^{'} & = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^{2}}} {(x + \sqrt{1 + x^{2}})}^{'} = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^{2}}} [1 + \frac{1}{2 \sqrt{1 + x^{2}}} {(1 + x^{2})}^{'}] \\ = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^{2}}} [1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}] = \frac{\sqrt{1 + x^{2}} + x}{(x + \sqrt{1 + x^{2}}) \sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} . \end{aligned}

2 由 1.1 .8 内容知

y = arsh x = \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) .

本题的结果与上例完全一致.

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Example 2.2.18.

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例 14 求

y = \ln | x |

的导数.

Solution.

解当

x > 0

时,

y^{'} = (\ln x)^{'} = \frac{1}{x} .

当

x < 0

时,

y^{'} = [\ln (- x)]^{'} = \frac{1}{- x} (- x)^{'} = \frac{1}{x} .

所以, 只要

x \neq 0,

总有

(\ln | x |)^{'} = \frac{1}{x}

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至此,已经得到了一些基本初等函数的导数公式, 现罗列如下:

$(C)^{'} = 0$ ( $C$ 为常数).
${(x^{μ})}^{'} = μ x^{μ - 1}$ ( $μ$ 为实数).
${(a^{x})}^{'} = a^{x} \ln a (a > 0, a \neq 1);$ 特别地, ${(e^{x})}^{'} = e^{x} .$
${(\log_{a} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln a} (a > 0, a \neq 1);$ 特别地, $(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}, (\ln | x |)^{'} = \frac{1}{x} .$
$(\sin x)^{'} = \cos x .$
$(\cos x)^{'} = - \sin x .$
$(\tan x)^{'} = \sec^{2} x .$
$(\cot x)^{'} = - \csc^{2} x .$
$(\sec x)^{'} = \sec x \tan x .$
$(\csc x)^{'} = - \csc x \cot x .$
$(\arcsin x)^{'} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} .$
$(\arccos x)^{'} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} .$
$(\arctan x)^{'} = \frac{1}{1 + x^{2}} .$
$(arccot x)^{'} = - \frac{1}{1 + x^{2}} .$
$(sh x)^{'} = ch x .$
$(ch x)^{'} = sh x .$
$(th x)^{'} = \frac{1}{{ch}^{2} x} .$
$(arsh x)^{'} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} .$
$(arch x)^{'} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} .$
$(arth x)^{'} = \frac{1}{1 - x^{2}} .$

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由于初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算, 并且可用一个式子表示的函数,因此利用导数的四则运算与复合运算法则及上述的基本公式, 就可以求出初等函数的导数.

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Example 2.2.19.

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例 15 求下列函数的导数:

$y = \frac{1}{2} \arctan \frac{2 x}{1 - x^{2}}$
$y = 3^{\sin (1 - 2 x)} + \frac{1}{2^{x}}$
$y = \frac{x}{2} \sqrt{a^{2} - x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \arcsin \frac{x}{a} (a > 0)$
$y = x \arctan x - x e^{x} + \frac{\ln x}{\sqrt{x}} .$

Solution.

解 (1)

y^{'} = \frac{1}{2} \frac{1}{1 + {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{'}

= \frac{1}{2} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2} + 4 x^{2}} \cdot \frac{2 (1 - x^{2}) - 2 x \cdot (- 2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} = \frac{1}{1 + x^{2}} .

$y^{'} = [3^{\sin (1 - 2 x)} \ln 3] [\sin (1 - 2 x)]^{'} + \frac{- 1}{{(2^{x})}^{2}} \cdot {(2^{x})}^{'}$

\begin{aligned} = [3^{\sin (1 - 2 x)} \ln 3] \cos (1 - 2 x) \cdot (- 2) + \frac{- 1}{{(2^{x})}^{2}} \cdot 2^{x} \ln 2 \\ = - 2 \ln 3 \cdot 3^{\sin (1 - 2 x)} \cos (1 - 2 x) - \frac{\ln 2}{2^{x}} \end{aligned}

$y^{'} = {(\frac{x}{2} \sqrt{a^{2} - x^{2}})}^{'} + {(\frac{a^{2}}{2} \arcsin \frac{x}{a})}^{'}$

= {(\frac{x}{2})}^{'} \sqrt{a^{2} - x^{2}} + \frac{x}{2} {(\sqrt{a^{2} - x^{2}})}^{'} + \frac{a^{2}}{2} {(\arcsin \frac{x}{a})}^{'}

\begin{aligned} = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} - x^{2}} + \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{{(a^{2} - x^{2})}^{'}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} + \frac{a^{2}}{2} \frac{{(\frac{x}{a})}^{'}}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{a})}^{2}}} \\ = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} - x^{2}} - \frac{1}{2} \frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} + \frac{a^{2}}{2 \sqrt{a^{2} - x^{2}}} = \sqrt{a^{2} - x^{2}} . \end{aligned}

$y^{'} = \arctan x + \frac{x}{1 + x^{2}} - x e^{x} - e^{x} + \frac{\frac{1}{x} \sqrt{x} - \ln x \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^{2}}$

= \arctan x + \frac{x}{1 + x^{2}} - (x + 1) e^{x} + \frac{2 - \ln x}{2 x \sqrt{x}} .

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Example 2.2.20.

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例 16 求下列函数的导数:

$y = \ln \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt[3]{x - 2}} (x > 2);$
$y = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}};$
$y = \log_{x} \sin x (x > 0, x \neq 1);$
$y = x^{a^{a}} + a^{x^{a}} + a^{a^{x}} (a > 0) .$

Solution.

解 (1) 因

y = \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1) - \frac{1}{3} \ln (x - 2),

故

\begin{aligned} y^{'} & = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1} {(x^{2} + 1)}^{'} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x - 2} (x - 2)^{'} \\ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot 2 x - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x - 2} = \frac{x}{x^{2} + 1} - \frac{1}{3 (x - 2)} . \end{aligned}

\begin{aligned} y^{'} & = \frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}} (x + \sqrt{x + \sqrt{x}})^{'} \\ = \frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}} [1 + \frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{x}}} (x + \sqrt{x})^{'}] \\ = \frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}} [1 + \frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{x}}} (1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}})] \\ = \frac{4 \sqrt{x^{2} + x \sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} + 1}{8 \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} \cdot \sqrt{x^{2} + x \sqrt{x}}} . \end{aligned}

在函数表达式中, 由于对数的底是变量,可用对数换底公式将其变形为

y = \frac{\ln \sin x}{\ln x}

这时

y^{'} = \frac{\cot x \ln x - \frac{1}{x} \ln \sin x}{\ln^{2} x} = \frac{x \cos x \ln x - \sin x \ln \sin x}{x \sin x \ln^{2} x} .

$y^{'} = a^{a} x^{a^{a} - 1} + a^{x^{a}} \cdot \ln a \cdot {(x^{a})}^{'} + a^{a^{x}} \cdot \ln a \cdot {(a^{x})}^{'}$

= a^{a} x^{a^{a} - 1} + a x^{a - 1} a^{x^{a}} \ln a + a^{x} a^{a^{x}} \ln^{2} a .

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Example 2.2.21.

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例 17 设

f (x) = {\begin{cases} x, & x < 0, \\ \ln (1 + x), & x ⩾ 0, \end{cases}

求

f^{'} (x) .

Solution.

解求分段函数的导数时, 在每一连续区间内的导数可按一般求导法则求解, 但在分段点处的导数应利用导数的定义求解. 当

x < 0

时,

f^{'} (x) = 1;

当

x > 0

时,

f^{'} (x) = [\ln (1 + x)]^{'} = \frac{1}{1 + x} (1 + x)^{'} =

\frac{1}{1 + x}

当

x = 0

时,

f_{-}^{'} (0) = lim_{x \to 0^{-}} \frac{x - \ln (1 + 0)}{x} = 1, f_{+}^{'} (0) = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 + x) - \ln (1 + 0)}{x} = 1,

即

f^{'} (0) = 1 .

所以

f^{'} (x) = {\begin{cases} 1, & x ⩽ 0 \\ \frac{1}{1 + x}, & x > 0 \end{cases}

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Example 2.2.22.

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例 18 已知

f (u)

可导, 求导数

y = f (\sec x)

的导数.

Solution.

解

y^{'} = [f (\sec x)]^{'} = f^{'} (\sec x) \cdot (\sec x)^{'} = f^{'} (\sec x) \sec x \tan x .

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Subsection 2.2.5 本节知识图谱

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Figure 2.2.23. 知识图谱

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Subsection 2.2.6 习题

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求下列函数的导数:
1. $y = 2 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} + 5 x + 3;$
2. $y = x^{2} \cos x;$
3. $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} + \frac{π}{2};$
4. $y = 3^{x} + x^{4} + e^{2};$
5. $y = \frac{1}{x + \sin x};$
6. $y = x \ln x + \frac{\ln x}{x};$
7. $y = (\frac{1}{x} - x^{2}) (x - \frac{1}{x^{2}});$
8. $y = \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}};$
9. $y = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}};$
10. $y = e^{x} (\sin x - \cos x);$
11. $y = \frac{\sin x + \cos x}{2^{x}};$
12. $y = \frac{\sin x - \cos x}{\tan x} .$
求下列函数在给定点处的导数:
1. $s = \ln (1 + a^{- 2 t}),$ 求 $s^{'} (0);$
2. $y = \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}},$ 求 ${y^{'} |}_{x = 4};$
3. $y = \frac{\cos x}{2 x - 1},$ 求 ${y^{'} |}_{x = \frac{π}{2}} .$
设 $f (x) = (a x + b) \sin x + (c x + d) \cos x,$ 试确定常数 $a, b, c, d,$ 使 $f^{'} (x) = x \cos x .$
经过点 $(0, - 3)$ 及点 $(5, - 2)$ 的直线与曲线 $y = \frac{c}{x + 1}$ 相切, 求常数 $c$ 的值.
求下列函数的导数:
1. $y = \arcsin x^{2} - x e^{x^{2}};$
2. $y = x \arccos \frac{x}{2};$
3. $y = arccot \sqrt{x^{3} - 2 x};$
4. $y = \frac{1}{4} \ln \frac{1 + x}{1 - x} + \frac{1}{2} \arctan x .$
求下列函数的导数:
1. $y = ch (sh x);$
2. $y = (sh x) e^{ch x};$
3. $y = th (1 - x^{2});$
4. $y = \arctan th x;$
5. $y = \ln ch x + \frac{1}{2 {ch}^{2} x} .$
求下列函数 $f (x)$ 的导数, 其中 $φ (x)$ 可导:
1. $f (x) = φ (x^{2});$
2. $f (x) = φ (e^{x}) \cdot e^{φ (x)};$
3. $f (x) = x φ (\frac{1}{x});$
4. $f (x) = φ [φ (x)] .$
试证明:
1. 可导奇函数的导数是偶函数, 可导偶函数的导数是奇函数;
2. 可导周期函数的导数仍为周期函数,且周期不变.

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Section 2.2 函数的求导方法 初等函数的导数

Subsection 2.2.1 几个基本初等函数的导数公式

Subsection 2.2.2 函数的和、差、积、商的求导法则

Theorem 2.2.1.

Proof.

Corollary 2.2.2.

Example 2.2.3.

Example 2.2.4.

Example 2.2.5.

Example 2.2.6.

Example 2.2.7.

Example 2.2.8.

Subsection 2.2.3 反函数的求导法则

Theorem 2.2.9.

Proof.

Example 2.2.10.

Example 2.2.11.

Subsection 2.2.4 复合函数的求导法则

Theorem 2.2.12. (复合函数求导法则).

Proof.

Example 2.2.13.

Example 2.2.14.

Example 2.2.15.

Example 2.2.16.

Example 2.2.17.

Example 2.2.18.

Example 2.2.19.

Example 2.2.20.

Example 2.2.21.

Example 2.2.22.

Subsection 2.2.5 本节知识图谱

Subsection 2.2.6 习题

Section 2.2 函数的求导方法初等函数的导数