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高等数学: 数字教材

T,谭易兰, C

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Section 5.2 换元积分法

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应用不定积分的性质和不定积分基本公式,可以计算出一部分比较简单的函数的不定积分, 对计算一些复杂函数的积分问题,还需要学习相应的方法.
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Subsection 5.2.1 第一换元法 (凑微分法)

Proof.

证 已知 F(u) 是 f(u) 的一个原函数,即
F′(u)=f(u),∫f(u)du=F(u)+C.
u 是中间变量, u=φ(x) 可导, 根据复合函数微分法, 有
dF[φ(x)]=f[φ(x)]φ′(x)dx,
由不定积分的定义可得 ∫f[φ(x)]φ′(x)dx=F[φ(x)]+C.
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这种方法的基本思想是从被积函数 f[φ(x)]φ′(x) 中提出因子 φ′(x) 和 dx 凑成 dφ(x), 从而使
∫f[φ(x)]φ′(x)dx=∫f[φ(x)]dφ(x)= 令 φ(x)=u∫f(u)du=F(u)+C=u=φ(x)F[φ(x)]+C.
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即将所求积分转化为可以利用基本积分公式的不定积分. 把公式(5.2.1) 称为不定积分的第一换元法 (也称凑微分法). 应用凑微分法求不定积分 ∫g(x)dx 的关键是将函数 g(x) 凑成 g(x)=f[φ(x)]φ′(x) 的形式, 从而
∫g(x)dx=∫f[φ(x)]φ′(x)dx=∫f[φ(x)]dφ(x)= 令 u=φ(x)∫f(u)du,
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即将函数 g(x) 的积分转化为函数 f(u) 的积分. 如果函数 f(u) 的原函数 F(u) 能够求出, 那么也就得到了 g(x) 的原函数.
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Example 5.2.2.

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例 1 求不定积分 ∫sin⁡(2x−1)dx.
Solution.
解 令 φ(x)=2x−1,φ′(x)=2. 被积表达式 sin⁡(2x−1)dx=12sin⁡φ(x)dφ(x),把 φ(x)=2x−1 看作一个变量 u,而 sin⁡u 有原函数 −cos⁡u,由Theorem 5.2.1 得
∫sin⁡(2x−1)dx=12∫sin⁡(2x−1)d(2x−1)=2x−1=u12∫sin⁡u du=−12cos⁡u+C=u=2x−1−12cos⁡(2x−1)+C.
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Example 5.2.3.

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例 2 求不定积分 ∫x2x3+2 dx.
Solution.
解 令 φ(x)=x3+2,φ′(x)=3x2, 被积函数 x2x3+2 dx=13[φ(x)]12 dφ(x),将 x3+2 看作变量 u,而 u12 有原函数 23u32, 由Theorem 5.2.1 得
∫x2x3+2 dx=13∫(x3+2)12 d(x3+2)=x3+2=u13∫u12 du=29u32+C=u=x3+229(x3+2)32+C.
对第一换元法比较熟练以后,所设换元过程可以省略.
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Example 5.2.4.

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例 3 求不定积分 ∫tan⁡x dx.
Solution.
解 ∫tan⁡x dx=∫sin⁡xcos⁡x dx=−∫1cos⁡x d(cos⁡x)=−ln⁡|cos⁡x|+C. 同理可得
∫cot⁡x dx=ln⁡|sin⁡x|+C
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Example 5.2.5.

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例 4 求不定积分 ∫dxx(1+ln⁡x).
Solution.
解 ∫dxx(1+ln⁡x)=∫11+ln⁡x d(1+ln⁡x)=ln⁡|1+ln⁡x|+C.
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Example 5.2.6.

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例 5 求不定积分 ∫a1xx2 dx(a>0).
Solution.
解 ∫a1xx2 dx=−∫a1x d(1x)=−a1xln⁡a+C.
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Example 5.2.7.

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例 6 求不定积分 ∫1(arcsin⁡x)31−x2 dx.
Solution.
解 ∫1(arcsin⁡x)31−x2 dx=∫(arcsin⁡x)−3 d(arcsin⁡x)
=1−3+1(arcsin⁡x)−3+1+C=−12(arcsin⁡x)2+C.
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Example 5.2.8.

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例 7 求不定积分 ∫sec⁡x dx.
Solution.
解 因为 sec⁡x dx=sec⁡x(sec⁡x+tan⁡x)sec⁡x+tan⁡x dx=sec2⁡x+sec⁡xtan⁡xsec⁡x+tan⁡x dx
=d(sec⁡x+tan⁡x)sec⁡x+tan⁡x,
所以
∫sec⁡x dx=∫d(sec⁡x+tan⁡x)sec⁡x+tan⁡x=ln⁡|sec⁡x+tan⁡x|+C.
同理可得
∫csc⁡x dx=ln⁡|csc⁡x−cot⁡x|+C.
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Example 5.2.9.

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例 8 求不定积分 ∫sin3⁡x dx.
Solution.
解 ∫sin3⁡x dx=∫sin2⁡xsin⁡x dx=−∫(1−cos2⁡x)d(cos⁡x)
=−∫d(cos⁡x)+∫cos2⁡x d(cos⁡x)=−cos⁡x+13cos3⁡x+C.
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Example 5.2.10.

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例 9 求不定积分 ∫sec6⁡x dx.
Solution.
解 ∫sec6⁡x dx=∫(sec2⁡x)2sec2⁡x dx=∫(1+tan2⁡x)2 d(tan⁡x)
=∫(1+2tan2⁡x+tan4⁡x)d(tan⁡x)=tan⁡x+23tan3⁡x+15tan5⁡x+C.
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Example 5.2.11.

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例 10 求不定积分 ∫cos3⁡xsin⁡x dx.
Solution.
解 ∫cos3⁡xsin⁡x dx=∫cos2⁡xcos⁡xsin⁡x dx=∫(1−sin2⁡x)sin−12⁡x d(sin⁡x)
=∫sin−12⁡x d(sin⁡x)−∫sin32⁡x d(sin⁡x)=2sin12⁡x−25sin52⁡x+C.
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Example 5.2.12.

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例 11 求不定积分 ∫e3xx dx.
Solution.
解 ∫e3xx dx=23∫e3x d(3x)=23e3x+C.
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Example 5.2.13.

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例 12 求不定积分 ∫1a2−x2 dx(a>0).
Solution.
解 ∫1a2−x2 dx=∫1a1−(xa)2 dx
=∫11−(xa)2 d(xa)=arcsin⁡xa+C.
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Example 5.2.14.

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例 13 求不定积分 ∫1a2+x2 dx.
Solution.
解 ∫1a2+x2 dx=∫1a2[1+(xa)2]dx
=1a∫11+(xa)2 d(xa)=1aarctan⁡xa+C.
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Example 5.2.15.

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例 14 求不定积分 ∫1a2−x2 dx.
Solution.
解 因为 1a2−x2=12a(1a+x+1a−x), 所以
∫dxa2−x2=12a(∫1a+x dx+∫1a−x dx)=12a[∫1a+x d(a+x)−∫1a−x d(a−x)]=12aln⁡|a+xa−x|+C.
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Example 5.2.16.

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例 15 求不定积分 ∫x2+x4 dx.
Solution.
解 ∫x2+x4 dx=12∫1(2)2+(x2)2 dx2=122arctan⁡x22+C.
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Example 5.2.17.

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例 16 求不定积分 ∫ln⁡tan⁡x2sin⁡x dx.
Solution.
 解 ∫ln⁡tan⁡x2sin⁡x dx=∫ln⁡tan⁡x22sin⁡x2cos⁡x2 dx=∫ln⁡tan⁡x2tan⁡x2cos2⁡x2 d(x2)=∫ln⁡tan⁡x2tan⁡x2 d(tan⁡x2)=∫ln⁡tan⁡x2 d(ln⁡tan⁡x2)=12ln2⁡(tan⁡x2)+C.
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Example 5.2.4、Example 5.2.8 及Example 5.2.13 ∼ Example 5.2.15的结论可作为新的积分公式, 即 (16)∫tan⁡x dx=−ln⁡|cos⁡x|+C;
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(17)∫cot⁡x dx=ln⁡|sin⁡x|+C; (18)∫sec⁡x dx=ln⁡|sec⁡x+tan⁡x|+C;
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(19)∫csc⁡x dx=ln⁡|csc⁡x−cot⁡x|+C;
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(20)∫1a2−x2 dx=arcsin⁡xa+C; (21)∫1a2+x2 dx=1aarctan⁡xa+C; (22)∫dxa2−x2=12aln⁡|a+xa−x|+C.
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熟练运用凑微分法的关键是要熟记基本积分公式. 在掌握求不定积分基本方法之后, 可直接将被积函数凑成 ∫f[φ(x)]dφ(x) 的形式来计算不定积分, 并把函数 φ(x) 看作一个整体变量,然后应用基本积分公式,因此称为“凑微分法”.
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Subsection 5.2.2 第二换元法

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在不定积分的计算中, 常常会出现与前面介绍的情况刚好相反的问题, 即不定积分 ∫f(x)dx 并不复杂, 却较难直接算出. 但若通过适当的变量代换 x=φ(t),将积分 ∫f(x)dx 化为易于计算的积分 ∫f[φ(t)]φ′(t)dt 的形式, 这就是另一种通过变量代换计算不定积分的方法,称为第二换元法.

Proof.

证 已知 f[φ(t)]φ′(t) 具有原函数, 设其原函数为 F(t), 只须证明
{F[φ−1(x)]+C}′=f(x).
由复合函数的求导法则得
{F[φ−1(x)]+C}′=F′(t)dt dx=f[φ(t)]φ′(t)1φ′(t)=f[φ(t)]=f(x).
第二换元法是将变量 x 替换成适当的函数 x=φ(t),将积分化成下面形式:
∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ′(t)dt
求出上式右端的积分后, 再用 x=φ(t) 的反函数 t=φ−1(x) 代回.
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这个换元公式的成立是需要一定条件的, 由于积分 ∫g[φ(t)]φ′(t)dt 求出后必须用 x=φ(t) 的反函数 t=φ−1(x) 代回去, 为了保证该反函数存在而且是单值可导的,所以在定理的条件中要求函数 x=φ(t) 在 t 的某一区间 (这区间和所考虑的 x的积分区间相对应) 上是单调、可导的, 并且 φ′(t)≠0, 即要保证反函数 t=φ−1(x)存在.
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Example 5.2.19.

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例 17 求不定积分 ∫dx1+1+x.
Solution.
解 为去掉被积函数分母中的根式, 设 1+x=t, 则 x=t2−1, dx=2t dt.
∫dx1+1+x=∫2t1+t dt=2∫t+1−11+t dt=2(∫dt−∫11+t dt)=2(t−ln⁡|1+t|)+C=t=1+x2(1+x−ln⁡|1+1+x|)+C.
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应用第二换元法时必须注意积分后一定要将变量代换回来.
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Example 5.2.20.

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例 18 求不定积分 ∫a2−x2 dx(a>0).
Solution.
解 见图 5−2,|x|⩽a, 设 x=asin⁡t, 当 −π2⩽t⩽π2 时, x=asin⁡t 存在单值反函数 t=arcsin⁡xa, 且 |cos⁡t|=cos⁡t, dx= acos⁡t dt, 所以
∫a2−x2 dx=∫a2−a2sin2⁡t⋅acos⁡t dt=a2∫|cos⁡t|cos⁡t dt=a2∫cos2⁡t dt=a22∫(1+cos⁡2t)dt=a22(∫dt+∫cos⁡2t dt)=a22(t+12sin⁡2t)+C=a22t+a24sin⁡2t+C.
由于 t=arcsin⁡xa, 则 sin⁡2t=2sin⁡tcos⁡t=2xa2a2−x2,于是
∫a2−x2 dx=a22arcsin⁡xa+x2a2−x2+C.
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Example 5.2.21.

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例 19 求不定积分 ∫1x2+a2 dx(a>0).
Solution.
解 见图 5-3, 设 x=atan⁡t, 则 dx=asec2⁡t dt, 当 −π2<t<π2 时, x=atan⁡t 存在单值反函数, 且 |sec⁡t|=sec⁡t. 于是
∫dxx2+a2=∫asec2⁡ta1+tan2⁡t dt=∫sec⁡t dt=ln⁡|sec⁡t+tan⁡t|+C.
又因为 tan⁡t=xa, 则 sec⁡t=x2+a2a.
所以
∫dxx2+a2=ln⁡|a2+x2a+xa|+C1=ln⁡|a2+x2+x|+C,
其中 C=C1−ln⁡a 仍为任意常数.
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Example 5.2.22.

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例 20 求不定积分 ∫dxx2−a2.
Solution.
解 设 x=asec⁡t, 则 dx=asec⁡ttan⁡t dt, 见图 5-4.
当 0<t<π2 或 π2<t<π 时, x=asec⁡t 存在反函数, 这里仅讨论 0<t<π2 的情况, 同理可讨论 π2<t<π 的情况.
当 0<t<π2 时, |tan⁡t|=tan⁡t 则
∫dxx2−a2=∫asec⁡ttan⁡t dtatan⁡t=∫sec⁡t dt=ln⁡|sec⁡t+tan⁡t|+C.
因为 sec⁡t=xa, 则 tan⁡t=x2−a2a. 于是
∫dxx2−a2=ln⁡|xa+x2−a2a|+C1=ln⁡|x+x2−a2|+C
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Example 5.2.20∼Example 5.2.22也是常用的积分公式.
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(23)∫a2−x2 dx=a22arcsin⁡xa+x2a2−x2+C;
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(24)∫dxx2+a2=ln⁡|a2+x2+x|+C;
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(25)∫dxx2−a2=ln⁡|x+x2−a2|+C.
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第二换元法主要用于两类不定积分 : 一类是被积函数中根式无法用第一换元积分法求解, 这时就用第二换元积分法消去根式, 然后求解, 如Example 5.2.19 . 二类是被积函数中含 a2−x2,a2+x2,x2−a2 的因式,而不能用第一换元积分法求解,如Example 5.2.20∼Example 5.2.22 的换元法.
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Example 5.2.23.

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例 21 求不定积分 ∫dx(1+x)1−x2.
Solution.
解 设 x=sin⁡t, dx=cos⁡t dt, 所以
∫dx(1+x)1−x2=∫cos⁡t dt(1+sin⁡t)1−sin2⁡t=∫11+sin⁡t dt=∫1−sin⁡tcos2⁡t dt=∫1cos2⁡t dt+∫1cos2⁡t d(cos⁡t)=tan⁡t−1cos⁡t+C=x1−x2−11−x2+C.
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Example 5.2.24.

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例 22 求不定积分 ∫1ex+1 dx.
Solution.
解 令 ex+1=t, 则 ex=t2−1,x=ln⁡(t2−1),dx=2tt2−1 dt. 于是
∫1ex+1 dx=∫1t⋅2tt2−1 dt=∫2(t+1)(t−1)dt=∫(1t−1−1t+1)dt=ln⁡|t−1t+1|+C=ln⁡|ex+1−1ex+1+1|+C.
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Example 5.2.25.

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例 23 求不定积分 ∫dxx21+x2.
Solution.
解 令 x=tan⁡t, 则 dx=sec2⁡t dt. 于是
∫dxx21+x2=∫sec2⁡ttan2⁡tsec⁡t dt=∫sec⁡ttan2⁡t dt=∫dtsin2⁡tcos2⁡t⋅cos⁡t=∫dtsin⁡t⋅sin⁡tcos⁡t=∫csc⁡tcot⁡t dt=−csc⁡t+C=−1+x2x+C.
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注以上几例说明第二换元法的一个主要目标就是将被积函数中根式有理化.
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Subsection 5.2.3 习题

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  1. 求下列不定积分:
    1. ∫12x+1 dx;
    2. ∫x1−x2 dx;
    3. ∫11+9x2 dx;
    4. ∫1xln⁡x dx;
    5. ∫cos⁡xsin2⁡x dx;
    6. ∫(arcsin⁡x)−21−x2 dx;
    7. ∫x2e−x3 dx;
    8. ∫x3−2x2 dx;
    9. ∫2x−3x2−3x+8 dx;
    10. ∫1+x2+1−x21−x4 dx;
    11. ∫sin⁡x2+cos2⁡x dx;
    12. ∫1cos2⁡x(1+tan⁡x)dx;
    13. ∫ex4+e2x dx;
    14. ∫1xsin2⁡x dx;
    15. ∫dxx(1+2x);
    16. ∫1ex+e−x dx;
    17. ∫1+x1−x2 dx;
    18. ∫13+2x−x2 dx;
    19. ∫dxxln⁡xln⁡(ln⁡x);
    20. ∫xcos⁡x2 dx;
    21. ∫cos2⁡xsin⁡2x dx.
  2. 求下列不定积分:
    1. ∫(1−x2)−32 dx;
    2. ∫x2a2−x2 dx;
    3. ∫dxx2x2−9;
    4. ∫sin⁡2x2−cos4⁡x dx;
    5. ∫dxxx2−a2;
    6. ∫dx(x2+1)3;
    7. ∫x2x−x2 dx;
    8. ∫x2+x+1(x+1)50 dx;
    9. ∫tan4⁡x dx;
    10. ∫x31+x2 dx;
    11. ∫x1+1+x2 dx.
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