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高等数学: 数字教材

T,谭易兰, C

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Section 6.4 定积分的换元法与分部积分法

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Subsection 6.4.1 定积分的换元法

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根据牛顿-莱布尼茨公式可知, 要计算定积分只需求出被积函数的原函数. 但由于定积分是一个“和式” 的极限, 是一个常数, 而不定积分是原函数族, 它们是完全不同的两个概念. 虽然通过牛顿-莱布尼茨公式给出它们的联系, 但它们毕竟有自己的特性,这些特性在计算上必然有所反映. 下面介绍定积分的换元法,要注意它和不定积分换元法的异同之处.

Proof.

证 设 F(x) 是 f(x) 的一个原函数, 即 F′(x)=f(x). 根据复合函数的求导法则 F[φ(t)] 是 f[φ(t)]φ′(t) 的原函数, 由牛顿-莱布尼茨公式得
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)
又
∫αβf[φ(t)]φ′(t)dt=F[φ(β)]−F[φ(α)]=F(b)−F(a).
于是
∫abf(x)dx=∫αβf[φ(t)]φ′(t)dt
可以看出, 定积分的换元法实质上是把不定积分的换元法推广到定积分中,两者不同之处在于, 定积分的换元法中被积函数进行换元时, 积分上、下限也要作相应的变换,因此对 t 求出原函数后,不必再变换到原来的变量 x, 只要对新的变量应用牛顿-莱布尼茨公式计算就行了.
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Example 6.4.2.

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例 1 求定积分 ∫0ln⁡2ex−1 dx.
Solution.
解 设 ex−1=t, 于是有 x=ln⁡(1+t2),t>0, dx=2t1+t2 dt.
当 x=0 时, t=0; 当 x=ln⁡2 时, t=1.
∫0ln⁡2ex−1 dx=2∫01t21+t2 dt=2∫01(1−11+t2)dt=2[t−arctan⁡t]01=2(1−arctan⁡1)=2−π2.
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Example 6.4.3.

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例 2 设 f(x) 是以 T 为周期的连续函数, 证明对任意实数 a 都有 ∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx.
Solution.
证 ∫aa+Tf(x)dx=∫a0f(x)dx+∫0Tf(x)dx+∫Ta+Tf(x)dx,对 ∫Ta+Tf(x)dx, 令 x=t+T, 于是
∫Ta+Tf(x)dx=∫0af(t+T)dt=∫0af(t)dt=∫0af(x)dx=−∫a0f(x)dx,
故有
∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx.
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注 (1) 定积分的换元积分法实际上是不定积分中的第二换元积分法在定积分中的运用. （2）定积分的上、下限 a,b 是被积函数 f(x) 的取值范围. 在作变量代换时, 由于自变量改变了,所以必须给出新变量的取值范围,这是定积分的换元法和不定积分的换元法区别之一. （3）在不定积分中通过变量代换求出原函数后,变量必须代回 (因为找的是被积函数的原函数). 但定积分的运算中就不需代回变量, 这是因为定积分是一个 “数值”,无论用什么方法, 只要将这个值求出即可.
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Example 6.4.4.

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例 3 求定积分 ∫0πsin3⁡x−sin5⁡x dx.
Solution.
解 由于 sin3⁡x−sin5⁡x=sin3⁡x(1−sin2⁡x)=sin32⁡x|cos⁡x|,当 x∈[0,π2] 时, |cos⁡x|=cos⁡x; 当 x∈[π2,π] 时, |cos⁡x|=−cos⁡x.
于是 ∫0πsin3⁡x−sin5⁡x dx=∫0π2sin32⁡xcos⁡x dx+∫π2πsin32⁡x(−cos⁡x)dx
=∫0π2sin32⁡x d(sin⁡x)−∫π2πsin32⁡x d(sin⁡x)=[25sin52⁡x]0π2−[25sin52⁡x]π2π=25−(−25)=45.
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Example 6.4.5.

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例 4 证明 :
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  1. 若 f(x) 在 [−a,a] 上连续且为偶函数, 则 ∫−aaf(x)dx=2∫0af(x)dx;
  2. 若 f(x) 在 [−a,a] 上连续且为奇函数, 则 ∫−aaf(x)dx=0.
Solution.
证 因为 ∫−aaf(x)dx=∫−a0f(x)dx+∫0af(x)dx. 对积分 ∫−a0f(x)dx 作替换 x=−t, 则得
∫−a0f(x)dx=−∫a0f(−t)dt=∫0af(−t)dt=∫0af(−x)dx
于是
∫−aaf(x)dx=∫0af(−x)dx+∫0af(x)dx=∫0a[f(−x)+f(x)]dx.(∗)
  1. 若 f(x) 为偶函数,则 f(x)+f(−x)=2f(x), 从而
    ∫−aaf(x)dx=2∫0af(x)dx.
  2. 若 f(x) 为奇函数,则 f(x)+f(−x)=0, 从而
∫−aaf(x)dx=0
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这个结论从几何上看是十分明显的,因为奇函数的图像关于原点对称, 故它在区间 [−a,0] 与 [0,a] 上的两个曲边梯形分别位于 x 轴的两侧且面积相等, 因此这两个面积的代数和为零. 而偶函数的图形关于 y 轴对称, 所以它在 [−a,a] 上曲边梯形的面积自然应是 [0,a] 上面积的两倍. 利用这个结论, 常可简化计算偶函数. 奇函数在关于原点对称的区间上的定积分, 特别是奇函数在对称区间上的积分等于 0 是很有用的结论.
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Example 6.4.6.

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例 5 设 f(x) 在积分区间上连续,求定积分 ∫−aa[f(x)−f(−x)]cos⁡x dx.
Solution.
解 因为 cos⁡x 是偶函数, f(x)−f(−x) 是奇函数, 所以 cos⁡x[f(x)−f(−x)]也是奇函数,而积分区间 [−a,a] 是以原点为中心的对称区间. 所以 ∫−aa[f(x)− f(−x)]cos⁡x dx=0.
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Example 6.4.7.

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例 6 求定积分 ∫−11(|x|+sin⁡x)x2 dx.
Solution.
解 因为 |x|x2 是偶函数, x2sin⁡x 是奇函数,而积分区间 [−1,1] 是以原点为中心的对称区间,所以
∫−11(|x|+sin⁡x)x2 dx=∫−11|x|x2 dx=2∫01x3 dx=12.
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Example 6.4.8.

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例 7 求定积分 I=∫−22min{x2,1|x|}dx.
Solution.
解 可以看出被积函数为偶函数.
I=2∫02min{x2,1x}dx=2[∫01x2 dx+∫121x dx]=2(13+ln⁡2).
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Example 6.4.9.

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例 8 证明 ∫0af(x)dx=∫0a2[f(x)+f(a−x)]dx.
Solution.
证 由定积分的性质 ∫0af(x)dx=∫0a2f(x)dx+∫a2af(x)dx.
在上式右端第二个积分中, 令 t=a−x, 当 x=a2 时, t=a2; 当 x=a 时, t=0.
所以
∫a2af(x)dx=−∫a20f(a−t)dt=∫0a2f(a−x)dx.
故 ∫0af(x)dx=∫0a2f(x)dx+∫0a2f(a−x)dx=∫0a2[f(x)+f(a−x)]dx.
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Example 6.4.10.

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例 9 证明 ∫0ax5f(x3)dx=13∫0a3xf(x)dx, 其中 f(x) 是连续函数.
Solution.
证 令 x=t3, 有 x3=t, dt=3x2 dx, 当 x=0 时, t=0; 当 x=a 时, t=a3. 于是
∫0ax5f(x3)dx=∫0a3t53f(t)(13t−23)dt=13∫0a3tf(t)dt=13∫0a3xf(x)dx.
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注 以上证明方法都是应用适当的变量代换, 并根据定积分的值与被积函数和积分区间有关,而与积分变量的记号无关这一特性.
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Example 6.4.11.

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例 10 设函数 f(x)={xe−x2,x⩾0,11+cos⁡x,−1<x<0, 计算 ∫14f(x−2)dx.
Solution.
解 设 x−2=t, 则 dx=dt, 且当 x=1 时, t=−1; 当 x=4 时, t=2.
于是
∫14f(x−2)dx=∫−12f(t)dt=∫−10dt1+cos⁡t+∫02te−t2 dt=[tan⁡t2]−10−[12e−t2]02=tan⁡12−12e−4+12.
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Example 6.4.12.

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例 11 设 f(x) 在 [a,b] 上连续, 且 f(x)>0,F(x)=∫axf(t)dt+∫bxdtf(t), x∈[a,b],证明 :
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  1. F′(x)⩾2;
  2. 方程 F(x)=0 在 (a,b) 内有且仅有一个实根.
Solution.
证 (1) F′(x)=ddx[∫axf(t)dt+∫bx1f(t)dt]=f(x)+1f(x),
又因为
f(x)>0,
所以
f(x)+1f(x)⩾2f(x)⋅1f(x)=2,
即
F′(x)⩾2. 
(2)因为 F(x) 在 [a,b] 上连续, 且 f(x)>0. 所以
F(a)=∫aaf(x)dx+∫ba1f(x)dx=∫ba1f(x)dx<0,F(b)=∫abf(x)dx+∫bb1f(x)dx=∫ab1f(x)dx>0.
由零点定理, 存在 ξ∈(a,b) 使 F(ξ)=0, 故 F(x)=0 在 (a,b) 内至少有一个实根.
又因为 F′(x)⩾2>0, 所以 F(x) 在 [a,b] 上单调增加, 故 F(x)=0 在 (a,b)内有且仅有一个实根.
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Subsection 6.4.2 定积分的分部积分法

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不定积分的分部积分法和定积分的分部积分法在计算方法上完全一样. 即设函数 u(x),v(x) 在区间 [a,b] 上具有导数 u′(x),v′(x), 则有
(uv)′=u′v+uv′.
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分别求等式两端在 [a,b] 上的定积分,得
∫ab(uv)′dx=∫abu′v dx+∫abuv′dx.
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移项得
∫abuv′dx=[uv]ab−∫abu′v dx.
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或简写为
∫abudv=[uv]ab−∫abv du.
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这就是定积分的分部积分公式. 注意 这个公式的每一项都带有积分限. 当具体使用分部积分法时, 原函数中已求出的部分应立即用积分上、下限代人, 这样可以简化计算过程.
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Example 6.4.13.

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例 12 计算 ∫01arcsin⁡x dx.
Solution.
解 ∫01arcsin⁡x dx=[xarcsin⁡x]01−∫01x d(arcsin⁡x)=arcsin⁡1−∫01x1−x2 dx
=π2+[1−x2]01=π2−1.
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Example 6.4.14.

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例 13 计算 ∫03ln⁡(x+1+x2)dx.
Solution.
解 ∫03ln⁡(x+1+x2)dx=[xln⁡(x+1+x2)]03−∫03x1+x2 dx
=3ln⁡(3+2)−[1+x2]03=3ln⁡(3+2)−2+1=3ln⁡(3+2)−1.
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Example 6.4.15.

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例 14 计算 ∫01ex dx.
Solution.
解 令 x=t, 则 x=t2, dx=2t dt. 且当 x=0 时, t=0; 当 x=1 时, t=1. 于是
∫01ex dx=2∫01tet dt=2[tet]01−2∫01et dt=2(e−[et]01)=2[e−(e−1)]=2.
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Example 6.4.16.

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例 15 设 In=∫0π2sinn⁡x dx,Jn=∫0π2cosn⁡x dx,n∈N, 证明 In=Jn, 并计算 In.
Solution.
证 设 x=π2−y,则 dx=−dy. 于是
Jn=∫0π2cosn⁡x dx=∫π20cosn⁡(π2−y)(−dy)=∫0π2sinn⁡y dy=In.
下面计算
In=∫0π2sinn⁡x dx=∫0π2sinn−1⁡x d(−cos⁡x)=[−sinn−1⁡xcos⁡x]0π2+∫0π2cos⁡x d(sinn−1⁡x)=(n−1)∫0π2sinn−2⁡xcos2⁡x dx=(n−1)∫0π2sinn−2⁡x(1−sin2⁡x)dx=(n−1)∫0π2sinn−2⁡x dx−(n−1)∫0π2sinn⁡x dx=(n−1)In−2−(n−1)In,
于是得到一个递推公式 In=n−1nIn−2.
当 n 为偶数, 设 n=2k(k∈N+), 有
I2k=2k−12k⋅2k−32k−2⋅2k−52k−4⋅⋯⋅56⋅34⋅12I0;
当 n 为奇数, 设 n=2k+1(k∈N+), 有
I2k+1=2k2k+1⋅2k−22k−1⋅2k−42k−3⋅⋯⋅67⋅45⋅23I1,I0=∫0π2 dx=π2,I1=∫0π2sin⁡x dx=1,
而
于是得 ∫0π2sinn⁡x dx=∫0π2cosn⁡x dx={n−1n⋅n−3n−2⋯⋯12⋅π2, 当 n 为偶数时, n−1n⋅n−3n−2⋯⋯23⋅1, 当 n 为奇数时. 
这个结果在计算中经常用到, 应加以注意.
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Example 6.4.17.

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例 16 计算 ∫−π2π2ex1+exsin6⁡x dx.
Solution.
解 利用被积函数的奇偶性和Example 6.4.5 中的式 (*), 有
∫−π2π2ex1+exsin6⁡x dx=∫0π2(ex1+ex+e−x1+e−x)sin6⁡x dx=∫0π2sin6⁡x dx=56⋅34⋅12⋅π2=1596π.
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Example 6.4.18.

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例 17 设 f′(x) 在 (−∞,+∞) 内连续, F(x)=∫0xf(t)f′(2a−t)dt, 证明:
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F(2a)−2F(a)=[f(a)]2−f(0)f(2a).
Solution.
证 F(2a)−2F(a)=∫02af(t)f′(2a−t)dt−2∫0af(t)f′(2a−t)dt
=∫a2af(t)f′(2a−t)dt−∫0af(t)f′(2a−t)dt,
而积分 ∫a2af(t)f′(2a−t)dt=−∫a2af(t)df(2a−t)
=−[f(t)f(2a−t)]a2a+∫a2af(2a−t)f′(t)dt=[f(a)]2−f(0)f(2a)+∫a2af(2a−t)f′(t)dt.
又因为 ∫a2af(2a−t)f′(t)dt=t=2a−x−∫a0f(x)f′(2a−x)dx,
所以有
F(2a)−2F(a)=[f(a)]2−f(0)f(2a).
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Subsection 6.4.3 习题 6-4

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  1. 计算下列定积分:
    1. ∫38x1+x dx;
    2. ∫12x2−1x dx;
    3. ∫01(x−1)10x2 dx;
    4. ∫01x21−x2 dx;
    5. ∫0111+ex dx;
    6. ∫1e21x1+ln⁡x dx;
    7. ∫1411+x dx;
    8. ∫01(1+x2)−32 dx;
    9. ∫01x321+x dx;
    10. ∫1e1+ln⁡xx dx;
    11. ∫01x1+x dx;
    12. ∫024−x2 dx;
    13. ∫010π1−cos⁡2x dx.
  2. 利用函数的奇偶性计算下列定积分:
    1. ∫−ππx4sin⁡x dx;
    2. ∫−π2π24cos4⁡θdθ;
    3. ∫−1212(arcsin⁡x)21−x2 dx;
    4. ∫−55x3sin2⁡xx4+2x2+1 dx.
  3. 证明下列各式:
    1. ∫−aaφ(x2)dx=2∫0aφ(x2)dx;
    2. 设 f(x) 在 [a,b] 上连续, 证明 ∫abf(x)dx=∫abf(a+b−x)dx;
    3. ∫x1dx1+x2=∫11xdx1+x2(x>0);
    4. ∫0πsinn⁡x dx=2∫0π2sinn⁡x dx.
  4. 计算下列定积分:
    1. ∫01arctan⁡x dx;
    2. ∫−ππsin3⁡θ2 dθ;
    3. ∫0π2e2tcos⁡t dt;
    4. ∫0πx2cos⁡2x dx;
    5. ∫1ee|ln⁡x|dx;
    6. ∫−1212xarcsin⁡x1−x2 dx;
    7. ∫01xe−x dx;
    8. ∫141xln⁡x dx;
    9. ∫1esin⁡(ln⁡x)dx;
    10. ∫01eln⁡(x+1)dx.
  5. 设 f(x) 在 [0,1] 上具有二阶连续导数, 且 f(0)=1,f(1)=3,f′(1)=5, 计算 ∫01xf′′(x)dx.
  6. 计算定积分 I=∫0nπx|sin⁡x|dx ( n 为正整数).
  7. 设 f(x),g(x) 在 [0,1] 上可导且导数连续, f(0)=0,f′(x)⩾0,g′(x)⩾0, 证明: 对任意 a∈[0,1], 有 ∫0ag(x)f′(x)dx+∫01f(x)g′(x)dx⩾f(a)g(1).
  8. 设 f′′(x) 在 [0,π] 上连续, f(0)=2,f(π)=1, 证明:
    ∫0π[f(x)+f′′(x)]sin⁡x dx=3.
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