项目学习

Section 3.4 项目学习

Subsection 3.4.1 微分中值定理在工科应用举例

Project 3.4.1. 应用举例.

微分中值定理，特别是罗尔定理（Rolle’s Theorem）和拉格朗日平均值定理（Lagrange’s Mean Value Theorem），在工程学科中有广泛的应用。这些定理在理解物理系统的行为、设计控制系统、以及工程问题的解决中扮演着关键角色。以下是一些工科中应用微分中值定理的例子：

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流体力学 在流体力学中，微分中值定理可以用于分析和预测流体在管道中的速度分布。例如，如果知道流体在管道的两个点之间的平均速度，那么可以使用微分中值定理来断定存在某个点，其瞬时速度等于这个平均速度。
热力学 在热力学中，微分中值定理可以用来估计在一定时间内物体温度的变化。如果温度是时间的连续可导函数，那么在任意两个时间点之间，至少有一个时刻，物体的瞬时温度变化率等于这段时间内温度变化的平均变化率。这对于热交换器的设计和热量传导的分析很重要。
动力学 在动力学中，罗尔定理可以用来证明存在某一瞬间，物体的瞬时速度为零。例如，如果一个物体在没有初始速度的情况下被竖直抛出，并且在某个时刻返回到其起始高度，那么在这段时间内至少存在一个时刻，物体的瞬时速度为零。
材料科学 在材料科学中，微分中值定理可以用于分析材料的应力-应变曲线。如果材料在拉伸测试中表现出连续的应力-应变关系，那么在任意两点之间，至少存在一点，其应力对应变的导数（即材料的模量）等于这两点间应变增量与应力增量之比。
电气工程 在电气工程中，微分中值定理可以应用于电路分析。例如，如果电路中的电压随时间连续变化，那么在任意两个时间点之间，至少存在一点，其电压对时间的导数（即电流）等于这两点间电压变化的平均变化率。这在分析电压波形和电路响应时非常有用。
控制工程 在控制工程中，微分中值定理可以用来保证控制系统的性能。在设计闭环控制系统时，工程师可能会利用这个定理来估计系统在一定输入变化下的输出变化，确保系统的稳定性和响应时间满足特定的设计要求。
机械工程 在机械工程中，微分中值定理可以用于齿轮设计。设计时需要考虑齿轮转动时的瞬时角速度，使用微分中值定理可以证明在一定的转动角度变化内，存在一个瞬时角速度等于平均角速度。

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Subsection 3.4.2 函数逼近

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Project 3.4.2. 泰勒多项式.

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泰勒多项式(Taylor Polynomials)的使用实质上是基于局部线性化或多项式近似的思想，通过简化复杂函数的计算， 理解函数局部行为, 可以使我们能够处理和解析原本难以直接求解的问题。这在理论研究和实际应用中都极为重要。下面我们演示如何使用SageMath计算函数的泰勒多项式, 并演示函数值逼近的准确度.


    
        
xxxxxxxxxx
 
1
f(x) = e^x
2
#下求f(x)在x=0处的5阶泰勒多项式
3
g(x) = taylor(f(x),x,0,5)
4
show(g(x))
5
plot(f(x),x,-0.5,3)+plot(g(x),x,-0.5,3)

    
    
    
    
        
            
                Language:
                
            
        
    
    




    
    
        
        Messages


    
        
xxxxxxxxxx
 
1
#检验误差
2
show((f(1)-g(1)).n())
3
show((f(3)-g(3)).n())

    
    
    
    
        
            
                Language:
                
            
        
    
    




    
    
        
        Messages

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通过该图, 可以看到泰勒多项式

g (x)

在

x_{0} = 0

附近逼近度很好, 但在远离该点处逼近度有待提高.

问题: 我能想到两种办法. 你知道是那两种吗? 请你在下方实现.


    
        
xxxxxxxxxx
 
1
f(x) = e^x
2
#下求f(x)在x=2处的5阶泰勒多项式
3
g(x) = taylor(f(x),x,2,5)
4
show(g(x))
5
show((f(1)-g(1)).n())
6
show((f(3)-g(3)).n())
7
plot(f(x),x,-0.5,3)+plot(g(x),x,-0.5,3)

    
    
    
    
        
            
                Language:
                
            
        
    
    




    
    
        
        Messages


    
        
xxxxxxxxxx
 
1
f(x) = e^x
2
#下求f(x)在x=0处的10阶泰勒多项式
3
g(x) = taylor(f(x),x,0,10)
4
show(g(x)) 
5
show((f(1)-g(1)).n())
6
show((f(3)-g(3)).n())  
7
plot(f(x),x,-0.5,3)+plot(g(x),x,-0.5,3)

    
    
    
    
        
            
                Language:
                
            
        
    
    




    
    
        
        Messages

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个人感悟.

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我们学习了一个强大的工具叫做泰勒多项式，它允许我们通过增加多项式的项数来更好地逼近一个复杂的函数。想象一下，你有一个目标函数，这个函数就像我们生活中的一个目标或梦想。起初，我们对这个目标只有一个粗略的理解，这就像泰勒多项式中只有几项时的情况。我们的近似可能非常粗糙，甚至有点偏离真实情况。

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但是，随着我们不断地增加泰勒多项式中的项数，我们的近似就会越来越精确，越来越贴近那个复杂的、真实的目标函数。每一项都像是我们理解中的一个新的组成部分，一个新的知识点，或是一次新的实践经验。

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这与你们的学习旅程非常相似。每一次的努力学习，每一本读过的书，每一个完成的项目，每一次克服困难的经历，都像是泰勒多项式中的一个额外的项。起初，这些努力可能看起来微不足道，就像刚开始的近似可能还远离目标。但是，当你们不断积累知识，不断挑战自己，一次又一次地努力，你们会发现自己越来越接近那个最初可能看起来遥不可及的目标。

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正如泰勒多项式最终能够精确地描述复杂函数一样，你们通过不断积累和努力，也能够精确地达到自己的目标。每一项积累都为你们接近目标提供了支持，就像每一个学习的阶段都让你们更加接近梦想。所以，不要小看任何一个小小的开始，每一点进步都是值得的，正是这些积累构成了通往成功的道路。