高等数学: 数字教材

函数导数的魅力在于它有广泛的应用. 要将导数应用于实际问题, 需要深刻认识导数的性质. 本章所述的罗尔 (Rolle) 中值定理、拉格朗日 (Lagrange) 中值定理、柯西 (Cauchy) 中值定理统称为微分学基本定理或微分中值定理. 这几个定理是微积分学的重要组成部分, 在导数应用中起着桥梁的作用. 利用微分中值定理可以进一步研究函数所描述的曲线的性态. 微分中值定理由费马引理引出. 费马引理表明, 在可导函数局部最大值与局部最小值的对应点处具有水平切线. 基于费马引理可导出罗尔中值定理, 即两端点纵坐标相等的光滑弧段上至少有一点具有水平切线. 将罗尔中值定理的两个端点的纵坐标相等推广到一般的情形, 即光滑曲线弧上存在一条平行于曲线两端点连线的切线, 就得到拉格朗日中值定理. 将拉格朗日中值定理的曲线换为参数方程表述并推广, 就得到柯西中值定理. 利用柯西中值定理可以导出泰勒定理, 得到泰勒公式. 泰勒公式可看成微分学基本定理在高阶可导函数的多项式逼近中的直接应用, 是近似计算和理论分析中常用的工具.