高等数学: 数字教材

实践中经常要考虑如下类型的问题: 已知一个函数 $f(x)$ 的导数为 $f^{\prime }(x)\text{,}$ 要求 $f(x)\text{.}$ 例如, 已知曲线 $y=f(x)$ 上任一点 $(x,y)$ 处的切线斜率为 $2x\text{,}$ 如何求该曲线方程? 即求满足 $f^{\prime }(x)=2x$ 的函数 $y=f(x)\text{.}$ 这类问题称为找 $f^{\prime }(x)$ 的原函数. 为此,引人原函数的概念.

例如, 因为在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 内 ${\left(x^2\right)}^{\prime }=2x\text{,}$ 所以 $x^2$ 是 $2x$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 内的一 个原函数. 又如, 在 $x\in (0,+\mathrm{\infty })$ 内,$(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}\text{,}$ 所以 $\sqrt{x}$ 是 $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 内的一个原函数. 什么样的函数存在原函数呢?

由于初等函数在其定义区间内都是连续的,因而初等函数在其定义域内都存在原函数. 那么 $f(x)$ 的原函数是否唯一呢? 回答是不唯一的. 由原函数的定义知,若 $F^{\prime }(x)=f(x)\text{,}$ 则对任意常数 $C$ 均有: $[F(x)+C{]}^{\prime }=f(x)\text{,}$ 可见当 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数时, $F(x)+C$ 也是 $f(x)$ 的一个原函数, 所以若已知函数 $f(x)$存在原函数,那么 $f(x)$ 就有无穷多个原函数.

由此可见, 一个函数的不定积分不是一个确定的数, 也不是一个函数, 而是一个函数族. 例如, 因为 $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x\text{,}$ 则 ${\displaystyle \int \cos x\mathrm{d}x=\sin x+C\text{;}}$ 又因为 ${\left(x^2\right)}^{\prime }=2x\text{,}$ 则 ${\displaystyle \int 2x\mathrm{d}x=x^2+C\text{.}}$ 下面阐述原函数与不定积分的几何意义. 设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数, $y=F(x)$ 在平面上表示一条曲线,该曲线称为 $f(x)$ 的积分曲线. 而 ${\displaystyle \int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C}$ 表示一族曲线, 它是由 $y=F(x)$ 沿 $y$ 轴平移所得, 其中任一条曲线在具有同一横坐标 $x$ 点处切线的斜率都等于 $f(x)\text{.}$ 在实际问题中, 有时要求 $f(x)$ 通过点 $(x_0,y_0)$ 的积分曲线, 此时有 $y_0=$ $F\left(x_0\right)+C\text{,}$ 则 $C=y_0-F\left(x_0\right)\text{.}$ 于是所求积分曲线为 $y=F(x)+[y_0-F\left(x_0\right)]\text{.}$

由于积分运算是微分运算的逆运算, 因此从每个基本微分公式很自然地得出相应的积分公式. 下面列出一些基本积分公式, 通常称其为基本积分表.

(1)${\displaystyle \int k\mathrm{d}x=kx+C}$ ( $k$ 为常数);

(2)${\displaystyle \int x^{\alpha }\mathrm{d}x=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C(\alpha \ne -1)\text{;}}$

(3)${\displaystyle \int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln |x|+C\text{;}}$

(4)${\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan x+C\text{;}}$

(5)${\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C\text{;}}$

(6)${\displaystyle \int \cos x\mathrm{d}x=\sin x+C\text{;}}$

(7)${\displaystyle \int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C\text{;}}$

(8)${\displaystyle \int {\sec }^{2}x\mathrm{d}x=\tan x+C\text{;}}$

(9)${\displaystyle \int {\csc }^{2}x\mathrm{d}x=-\cot x+C\text{;}}$

(10)${\displaystyle \int \sec x\tan x\mathrm{d}x=\sec x+C\text{;}}$

(11)${\displaystyle \int \csc x\cot x\mathrm{d}x=-\csc x+C\text{;}}$

(12)${\displaystyle \int {\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x={\mathrm{e}}^x+C\text{;}}$

(13)${\displaystyle \int a^x\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C(a>0,a\ne 1)\text{;}}$

(14)${\displaystyle \int \mathrm{sh}x\mathrm{d}x=\mathrm{ch}x+C\text{;}}$

(15)${\displaystyle \int \mathrm{ch}x\mathrm{d}x=\mathrm{sh}x+C\text{.}}$

上面三个例子的被积函数经整理后其实都是幂函数,遇此情形,应先把被积函数化为 $x^{\alpha }$ 的形式, 然后应用幂函数的积分公式来求不定积分. 有了上述基本积分公式, 就可以求出基本初等函数的不定积分, 所以必须牢牢记住这些基本积分公式. 为了更好地求初等函数的不定积分, 还需要学习积分运算法则及求不定积分的各种方法.

由不定积分的定义,易证下列不定积分的运算法则. 本节中假设 $f(x),g(x)$的原函数都存在.

即被积函数的常数因子可以移到积分号外边. 事实上, ${\left[k{\displaystyle \int f(x)\mathrm{d}x}\right]}^{\prime }=kf(x)\text{,}$ 即 ${\displaystyle \int kf(x)\mathrm{d}x=k{\displaystyle \int f(x)\mathrm{d}x\text{.}}}$

上述各例,都是通过基本运算手段,如恒等变形、加项减项等方法求不定积分, 目的是将较复杂的被积函数简化,使之成为若干个可查基本积分表的不定积分或已知不定积分的形式.