Section 1.3 函数的连续性和间断点
客观世界的许多现象和事物不仅是运动变化的,而且其运动变化的过程往往 是连续不断的. 例如气温随着时间的变化而连续地变化; 运动物体的运行路程随着时间的增加而连续不断地增长; 树木的高度随着时间的增加而连续不断地变化. 这种现象反映在函数关系上就是函数的连续性. 这类函数的图形是一条连续不断的曲线. 连续函数不仅是微积分的研究对象, 而且微积分中的主要概念、定理、公式法则等往往都要求函数具有连续性.
Subsection 1.3.1 函数的连续性

Definition 1.3.2.
Definition 1.3.3.
需要指出, 在Definition 1.3.3 中不等式 与极限定义中的 不同 (取消了大于零的限制), 这是因为在考虑连续问题时, 在 必须有定义,当 时 必然成立. 函数在一点处的单侧连续性的概念可利用函数在该点的单侧极限来定义.
Definition 1.3.4.
Definition 1.3.5.
Example 1.3.6.
Solution.
证 函数 定义域为 任取 利用三角函数和差化积公式,有
由于 时, 而有界量与无穷小之积仍为无穷小,所以
由定义知, 在 连续. 又由点 的任意性可知, 函数 在 内连续. 同理可证 在 内连续.
Example 1.3.7.
Solution.
证 函数 定义域为 任取 则
而当 时, 所以有
由 的任意性得 在 内连续. 特别地, 当 时, 在 内连续.
Example 1.3.8.
Solution.
证 设 由于 单调增加,则 当 时, 当 时, 由此可见, 即 因此 在 连续.
Example 1.3.9.
Solution.
解 在 处: 所以
但是 故 在 处不连续. 在 处: 所以 即 不存在,故 在 处不连续.
Subsection 1.3.2 函数的间断点及其分类
在 点无定义;- 极限
不存在; - 极限
存在, 但极限值不等于函数值,那么 在 点不连续.
Definition 1.3.10.
函数的间断点通常分为两类.
Subsubsection 1.3.2.1 第一类间断点
若函数 在 点的左、右极限都存在, 但 是 的间断点,则称 是 的第一类间断点. 若函数 在 点的左、右极限都存在, 但是 则称 是 的跳跃间断点; 若 但是 在 点没有定义或 则称 是 的可去间断点.
Subsubsection 1.3.2.2 第二类间断点
下面举例说明函数间断点的不同类型.
Example 1.3.11.
例 5 指出下列函数 的间断点及其类型:
Solution.
解 (1) 因为 而 所以 是函数的间断点. 又因为 在 的左、右极限存在,所以 是函数的可去间断点 (见图 1-25).

如果改变 在 处的定义,令 即
那么 在 处就连续了.
(2)因为 在 无定义,所以 为 的间断点. 又 故 为 的可去间断点 (见图 1-26). 如果补充定义 即

那么 在 点就连续了.
Example 1.3.12.

Example 1.3.13.
Example 1.3.14.
Subsection 1.3.3 连续函数的运算
函数的连续性是通过极限来定义的, 根据极限运算法则, 可推得下列连续函数的性质.
Theorem 1.3.15. .
Proof.
证 由已知条件, 根据函数极限四则运算法则得
所以, 函数 都在点 处连续.
Corollary 1.3.16.
推论 1 有限个连续函数的代数和在它们共同有定义的区间上仍是连续函数.
Corollary 1.3.17.
推论 2 有限个连续函数的乘积在它们共同有定义的区间上仍是连续函数.
Example 1.3.18.
Solution.
Example 1.3.19.
Theorem 1.3.20.
Example 1.3.21.
Solution.
解 利用Theorem 1.3.20 有
Theorem 1.3.22.
Corollary 1.3.23.
推论 有限个连续函数经过有限次复合运算所得到的复合函数仍是连续函数.
Theorem 1.3.24.
由图 1-30 可直观地看出结论成立, 证明从略.

Example 1.3.25.
Solution.
证 由Example 1.3.7, 在 内连续, 当 单调增加 (减少). 值域 由Theorem 1.3.24 反函数 在相应的区间 内连续, 且单调增加 (减少), 即函数 在 内连续. 特别当 时, 在 内连续.
Example 1.3.26.
例 13 求
Solution.
解
Example 1.3.27.
Solution.
证 由于 在区间 上连续且单调增加, 函数值变化范围 由Theorem 1.3.24 知, 反函数 在区间 上连续, 即 在 上连续. 同理可证, 在 上也连续. 还可以证明, 反三角函数 在它们的定义域内连续.
Subsection 1.3.4 初等函数的连续性
上面讨论了连续函数的定义、运算法则, 现在介绍一些常见函数的连续性. 常量函数 在 内处处连续. 三角函数 在定义区间内连续. 反三角函数 在定义区间内连续. 指数函数 对数函数 在定义区间内连续. 幂函数 为实数 由于 幂函数作为指数函数与对数函数的复合函数在 内是连续的. 可见基本初等函数在其定义区间内处处连续. 初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合步骤而得到的可用一个式子表示的函数,因此有以下定理.
Theorem 1.3.28.
定理 5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
注意 Theorem 1.3.28 的结论非常重要, 因为微积分的研究对象主要是连续或分段连续的函数. 而一般应用中所遇到的函数基本上是初等函数, 其连续性的条件总是满足的. 这使得微积分具有强大的生命力和广阔的应用前景.
Subsection 1.3.5 闭区间上连续函数的性质
Theorem 1.3.29. (最大值、最小值定理).

Corollary 1.3.30.
Proof.
Theorem 1.3.31. 介值定理.

由介值定理可以得到两个很有用的推论.
Corollary 1.3.32.
事实上, 由于函数 在两端点函数值异号, 即 是介于 与 之间的一个数, 由介值定理Theorem 1.3.31 , 在 内至少存在一点 使 0 , 即方程 在 内至少有一个实根 因此,Corollary 1.3.32 常被用来证明方程有实根的依据.
Corollary 1.3.33.
Example 1.3.34.
Solution.
Example 1.3.35.
Solution.
Subsection 1.3.6 一致连续性的概念
设函数 在区间 (闭的或非闭的, 有限的或无穷的) 上有定义,而且在该区间上点 处连续, 则 即对于任意的 必能求出 使满足 的一切 有 若 在区间 内连续, 即在 上每一点 处都连续, 则对于 上任一点 必能按给定的 分别求出符合上述意义的 一般地, 这个 不仅与 有关,而且与所取定的点 有关. 也就是说,即使 不变,对于 上点 适用的 对于 上另一个点 就不一定适用. 若只考虑区间 上的有限个点 当 不变动时, 则由有限个 内可以选出最小的一个 而这个 显然适用于所考察的各个点 若考虑区间 上的无穷多个点 当 不变动时, 由无穷多个 不一定能选出最小的一个. 于是产生一个问题, 即对于在区间 上连续的函数 是否存在这样的 能适用 上一切点 呢? 如果存在这样的 就认为函数 在区间 上是一致连续的.
Definition 1.3.36.
如果函数是一致连续的, 数 只依赖于 它可以适用区间 上的一切点 在区间 上的任何部分, 只要自变量的两个数值达到一定的接近程度, 就足以使对应的函数值达到所需要的接近程度. 可见一致连续的条件强于连续的条件, 即函数 在区间 上一致连续, 则 在区间 上必定连续. 但是, 在区间 上连续的函数, 不一定能推出它在区间 上一致连续.
Example 1.3.37.
Solution.
证 事实上, 是初等函数, 它在 上是有定义的, 所以它在 上是连续的. 任给 假设 在区间 上是一致连续的, 则对于这个 应能找到 使得对于区间 上的任意两个值 与 只要 时, 就有 现在对于上述 无论怎样取 只要令 是任意的正整数), 就有
只要 足够大 如 总能使
但这时 而
显然不符合函数 在区间上一致连续的定义, 因此 在区间 上不是一致连续的.
函数 在区间上是否一致连续, 取决于能否找到一致可用的 那么在什么情况下, 能使函数 一致连续呢? 上例说明在非闭区间上的连续函数, 不一定能推出它在该区间上是一致连续的. 但对于闭区间上的连续函数,一定有以下定理.
Theorem 1.3.38. (一致连续性定理).
Proof.
证明从略.
Subsection 1.3.7 SageMath代码举例
xxxxxxxxxx
f(x) = e^(x)*sin(x-pi/2)
limit(f,x=pi/2)
xxxxxxxxxx
f(x)=abs(x)/x
limit(f(x),x=0, dir='plus') #求右极限
xxxxxxxxxx
f(x)=abs(x)/x
limit(f(x),x=0, dir='minus') #求左极限
xxxxxxxxxx
f = x**2-2
f.find_root(1,2,x)
Exercises 判断题
1.
True.
- 极限存在当且仅当左右极限存在且相等.
False.
- 极限存在当且仅当左右极限存在且相等.
Subsection 1.3.8 本节知识图谱
Subsection 1.3.9 习题1-3
-
研究下列函数在指定点处的连续性:
在 处. 在 处.
-
指出下列函数间断点的类型, 若是可去间断点, 则补充或改变函数的定义,使其连续:
-
确定常数
使下列函数连续: - 讨论函数
的连续性, 若有间断点, 判别其类型. -
求下列极限:
xxxxxxxxxx
f(x)=(1+x)**cos(x)
limit(f(x),x=0)
- 证明: 若
在 连续, 且 则存在 当 时, - 证明: 方程
至少有一个小于 1 的正根. - 证明: 方程
至少有一个不超过 的正根, 其中常数 - 设函数
在 上连续, 证明在 上至少存在一点 使 - 设函数
在区间 上满足李普希兹 (Lipschitz) 条件, 即任给 有 其中 为常数,证明: 在区间 上一致连续.