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Section 1.5 项目式练习

Subsection 1.5.1 环境科学

Project 1.5.1. 环境科学中的几个数学模型.

习近平主席曾经指出:“青山绿水就是金山银山”,强调了环境保护对于可持续发展的重要性。在本节, 我们将介绍几个环境科学中几个基本的数学模型。我们先从它们各自的函数图像入手,以直观地理解其意义和应用。在后面章节的项目式练习中在深入探讨这些模型.
(a) 指数衰减模型(Exponential Decay Model).
指数衰减模型是一种用于描述某种量随时间而减少的数学模型,它在环境科学中经常被用来模拟污染物的降解、放射性物质的衰变,或者资源的消耗等情况。
该模型的基本形式是:
C(t)=C0ekt
这里的变量含义如下:
  • C(t) : 表示时间 t 时刻的物质的量;
  • C0 : 是初始时刻物质的量, 即 t=0 时的量;
  • k : 是一个正的常数, 代表衰减率, 它决定了衰减的速度有多快;
  • e : 是自然对数的底数, 大约等于 2.71828.
Example 1.5.1.
假设有一种污染物, 它在自然环境中会逐渐降解消失。如果我们知道这种污染物的初始浓度是 C0=100 单位, 以及它的衰减率 k=0.1(每天), 请用指数衰减模型和SageMath来计算t=1,10,50天时的浓度。
Solution.
动手查资料.
调查日本福岛核污水排海数据(建议使用中国知网). 并从中国标准来解释为什么福岛核废水的氚浓度超标. 请用指数衰减模型计算何时福岛核污水达到我国标准.
我们下面通过SageMath交互, 看一看衰减率对污染物衰变的影响.
讨论.
解释当tC(t)的现实意义.
(b) 逻辑斯蒂生长模型(Logistic Growth Model).
逻辑斯蒂生长模型是一个描述有限资源环境下生物种群增长的模型。它考虑了种群生长中环境承载力的限制。 逻辑斯蒂生长模型可以由以下微分方程表示:
dPdt=rP(1PK)
  • P 表示时间 t 时的种群大小;
  • dPdt 表示种群大小随时间变化的速率;
  • r 是种群的固有增长率;
  • K 是环境的承载力.
逻辑斯蒂生长模型用微分方程来描述. 在此我们承认P(t)=K1+KNNert是逻辑斯蒂生长模型的解, 这里N=P(0). 在此, 我们首先利用SageMath得到它的函数图像, 并求出P(2).
在下一章, 利用导数的性质, 我们设计算法, 估计函数值P(2). 也就是说, 在无法求得逻辑斯蒂生长模型的解的情况下, 如何有效的估计P(2)的值.
思考题.
t时的该问题的实际意义是什么?

Subsection 1.5.2 连续与物理学

Project 1.5.2. 连续在光学中的应用.

镇江是眼镜之都. 镜片是制造高质量眼镜的决定性因素. 下面我们来学习一下制作眼镜需要注意的问题.
(a)
近视镜片的曲面通常设计为球面或非球面(如抛物面或椭球面)。球面镜片是最常见的设计,因为它们相对容易制造。近视镜片的主要目的是让光线在进入眼睛之前发散,从而将焦点从眼睛的前方移动到视网膜上,改善视力。
在设计透镜和镜片时,我们需要确保光线能够准确地聚焦到预定的焦点上。透镜的曲面形状必须是连续的,因为任何不连续性都可能导致光线以不可预测的方式折射或反射。如果透镜表面出现跳跃或尖锐的边缘,可能会出现以下问题:
  1. 光斑(或光学图像)的质量下降,出现模糊。
  2. 引入光学畸变,如球面畸变或色差。
  3. 减少光学系统的效率,因为不连续性可能会散射有用的光线。
Hint.
A little hint.
Answer.
Just the answer.
Solution.
All the glorious details about how to do the first step.
A little wrap up.

Subsection 1.5.3 连续与工科

Project 1.5.3. 流体流速函数的极限.

假设粘性流体, 具有恒定的粘性 μ, 在本小节中, 我们探讨流经长度为L宽度为R的圆形管道的速度函数V(r), 其中r是管道半径的位置。
(a)
查阅资料, 了解哈根-泊肃叶(Hagen-Poiseuille equation)公式, 并列出它的适用条件.
Hint.
(b)
若流体满足哈根-泊肃叶公式的条件, 流体流速 V(r)在径向位置 r 可以通过哈根-泊肃叶公式来计算:
V(r)=ΔP4Lμ(R2r2)
这里ΔP 是管道两端的压强差. 问题: 假设ΔP=L=μ=R=1. 试画出流速与径向位置r的关系图, 并观察r趋向于R时, 流速V(r)的趋势.
(c)
Chanllenge questions:
  1. 如何解释rR的极限? 它的物理意义是什么?
  2. 在(b)中, 为了得到流速与径向位置r的关系图, 我们假设了ΔP=L=μ=R=1. 你能否在不假设特定值的情况下也画出关系图. 这是一个困难的问题, 但是有着重要的意义. 这是一个开放性的问题, 欢迎你提供解决方案.

Subsection 1.5.4 函数的连续性

Project 1.5.4. 函数的连续性.

在高等数学中,函数图像提供了一个直观的方式来理解函数连续性,使得抽象的概念变得容易识别和理解。通过观察图像中的无间断曲线与断点,学生能够直接观察到函数的连续性质。绘制函数图像也有助于验证理论结果的正确性,并促进学生对连续性概念深度的理解。此外,使用图像可以增强课堂互动,激发学生的探索兴趣,并深化对连续性在实际中应用的认识。
(a) 函数f(x)={xasin1x,x00,x=0,的连续性.

Subsection 1.5.5 函数与经济学

Project 1.5.5. 分期付款里的数学.

时间来到你毕业后的2年, 你打算零首付等额本息分N期(月)买一辆价值为P的车. 也就是说, 这个数额包括了本金和利息两部分,而且整个还款期间每月还款额相同. 假设年贷款利率是r.
(a)
计算每月还款额M.
Hint.
该题目的关键是找到一个等式. 至少有两种方法.
  • 本金+利息=NM.
    那么该问题就转化为如何求利息. 但是, 该方法符合直觉,但计算起来特别繁琐.
  • 应用经济学中普通年金(Ordinary annuity)的概念.
    由于金钱存在时间价值,即一笔钱今天的价值大于未来某一天的价值(考虑定期存款),我们需要将未来的支付折现到今天,可理解为定期存款的逆过程. 若你在k个月后, 取总计M元的存款, 你只需要在银行存入M(1+i)k即可, 这里i=r12.
    关键性思考:如果k个月后你还给银行M元, 那么这M元在本月等价于多少钱?
Answer.
M1+i+M(1+i)2++M(1+i)N=P
注意到,等式左边是等比数列求和,我们得
M=P×r(1+i)N(1+i)N1.
练习题: 假设你分五年零首付等额本息买一台300,000的汽车。请计算每月还款额。
讨论.
在面临一个复杂的问题时,我们可以采取“分而治之”的策略。首先,将大问题拆解为几个更小、更易于管理的子问题。这些子问题应该是相对独立并且简单的,这样我们可以专注于解决每一个小问题,而不是一次性解决整个庞大的问题。
将大问题分解为小问题并逐一解决的思想,哲学上可追溯至古代希腊哲学家亚里士多德的“整体与部分”的理论。