项目式练习


    
        
xxxxxxxxxx
 
1
var('t')
2
C(t) = 100*e^(-0.1*t) 
3
C(1), C(10),C(50)

    
    
    
    
        
            
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动手查资料.

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调查日本福岛核污水排海数据(建议使用中国知网). 并从中国标准来解释为什么福岛核废水的氚浓度超标. 请用指数衰减模型计算何时福岛核污水达到我国标准.

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我们下面通过SageMath交互, 看一看衰减率对污染物衰变的影响.


    
        
xxxxxxxxxx
 
1
var('t')
2
@interact 
3
def Decay(c0 = slider(0,10,1, default=5, label="C_0"), 
4
        k =slider(0,1, 0.1, default=0.1, label="k")):
5
        c(t) = c0*e^(-k*t)
6
        show(plot(c(t),t,0,60))

    
    
    
    
        
            
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讨论.

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解释当

t \to \infty

时

C (t)

的现实意义.

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(b) 逻辑斯蒂生长模型(Logistic Growth Model).

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逻辑斯蒂生长模型是一个描述有限资源环境下生物种群增长的模型。它考虑了种群生长中环境承载力的限制。逻辑斯蒂生长模型可以由以下微分方程表示：

\frac{d P}{d t} = r P (1 - \frac{P}{K})

$P$ 表示时间 $t$ 时的种群大小;
$\frac{d P}{d t}$ 表示种群大小随时间变化的速率;
$r$ 是种群的固有增长率;
$K$ 是环境的承载力.

🔗

逻辑斯蒂生长模型用微分方程来描述. 在此我们承认

P (t) = \frac{K}{1 + \frac{K - N}{N} e^{- r t}}

是逻辑斯蒂生长模型的解, 这里

N = P (0) .

在此, 我们首先利用SageMath得到它的函数图像, 并求出

P (2) .


    
        
xxxxxxxxxx
 
1
var('t')
2
@interact 
3
def Logistic(r = slider(0, 3, 0.05, default=2, label="r"), 
4
        K =slider(0,10, 1, default=5, label="K"),
5
        N = slider(0,1,1, default = 1, label="N")):
6
        P(t) = K/(1+((K-N)/N)*e^(-r*t)) 
7
        show(plot(P(t),t,-10,10))
8
        show('P(2)=', P(2))

    
    
    
    
        
            
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在下一章, 利用导数的性质, 我们设计算法, 估计函数值

P (2) .

也就是说, 在无法求得逻辑斯蒂生长模型的解的情况下, 如何有效的估计

P (2)

的值.

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思考题.

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当

t \to \infty

时的该问题的实际意义是什么?

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Subsection 1.5.2 连续与物理学

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Project 1.5.2. 连续在光学中的应用.

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镇江是眼镜之都. 镜片是制造高质量眼镜的决定性因素. 下面我们来学习一下制作眼镜需要注意的问题.

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(a)

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近视镜片的曲面通常设计为球面或非球面（如抛物面或椭球面）。球面镜片是最常见的设计，因为它们相对容易制造。近视镜片的主要目的是让光线在进入眼睛之前发散，从而将焦点从眼睛的前方移动到视网膜上，改善视力。

🔗

在设计透镜和镜片时，我们需要确保光线能够准确地聚焦到预定的焦点上。透镜的曲面形状必须是连续的，因为任何不连续性都可能导致光线以不可预测的方式折射或反射。如果透镜表面出现跳跃或尖锐的边缘，可能会出现以下问题：

🔗

光斑（或光学图像）的质量下降，出现模糊。
引入光学畸变，如球面畸变或色差。
减少光学系统的效率，因为不连续性可能会散射有用的光线。

Hint.

A little hint.

Answer.

Just the answer.

Solution.

All the glorious details about how to do the first step.

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A little wrap up.

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Subsection 1.5.3 连续与工科

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Project 1.5.3. 流体流速函数的极限.

🔗

假设粘性流体, 具有恒定的粘性

μ,

在本小节中, 我们探讨流经长度为

L

宽度为

R

的圆形管道的速度函数V(r), 其中r是管道半径的位置。

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(a)

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查阅资料, 了解哈根-泊肃叶(Hagen-Poiseuille equation)公式, 并列出它的适用条件.

Hint.

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(b)

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若流体满足哈根-泊肃叶公式的条件, 流体流速

V (r)

在径向位置

r

可以通过哈根-泊肃叶公式来计算:

V (r) = \frac{Δ P}{4 L μ} (R^{2} - r^{2})

🔗

这里

Δ P

是管道两端的压强差. 问题: 假设

Δ P = L = μ = R = 1 .

试画出流速与径向位置

r

的关系图, 并观察

r

趋向于

R

时, 流速

V (r)

的趋势.


    
        
xxxxxxxxxx
 
1
var('r')
2
V = 4*(1-r^2)
3
plot(V,r,0,1)

    
    
    
    
        
            
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(c)

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Chanllenge questions:

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如何解释 $r \to R$ 的极限? 它的物理意义是什么?

在(b)中, 为了得到流速与径向位置

r

的关系图, 我们假设了

Δ P = L = μ = R = 1 .

你能否在不假设特定值的情况下也画出关系图. 这是一个困难的问题, 但是有着重要的意义. 这是一个开放性的问题, 欢迎你提供解决方案.

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Subsection 1.5.4 函数的连续性

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Project 1.5.4. 函数的连续性.

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在高等数学中，函数图像提供了一个直观的方式来理解函数连续性，使得抽象的概念变得容易识别和理解。通过观察图像中的无间断曲线与断点，学生能够直接观察到函数的连续性质。绘制函数图像也有助于验证理论结果的正确性，并促进学生对连续性概念深度的理解。此外，使用图像可以增强课堂互动，激发学生的探索兴趣，并深化对连续性在实际中应用的认识。

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(a) 函数 $f (x) = {\begin{cases} x^{a} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0, \end{cases}$ 的连续性.


    
        
xxxxxxxxxx
 
1
@interact
2
def function(a = slider(0,1,0.1, default=0.5, label="a")):
3
        f(x) = x^a*sin(1/x)
4
        show(plot(f(x),x,0,0.2))

    
    
    
    
        
            
                Language:
                
            
        
    
    




    
    
        
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xxxxxxxxxx
 
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def f(a):
2
    return plot(x^a*sin(1/x),x,0.01,0.03)

    
    
    
    
        
            
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Subsection 1.5.5 函数与经济学

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Project 1.5.5. 分期付款里的数学.

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时间来到你毕业后的2年, 你打算零首付等额本息分

N

期(月)买一辆价值为

P

的车. 也就是说, 这个数额包括了本金和利息两部分，而且整个还款期间每月还款额相同. 假设年贷款利率是

r .

🔗

(a)

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计算每月还款额

M .

Hint.

该题目的关键是找到一个等式. 至少有两种方法.

本金+利息= $N \cdot M .$

那么该问题就转化为如何求利息. 但是, 该方法符合直觉,但计算起来特别繁琐.
应用经济学中普通年金(Ordinary annuity)的概念.

由于金钱存在时间价值，即一笔钱今天的价值大于未来某一天的价值(考虑定期存款)，我们需要将未来的支付折现到今天,可理解为定期存款的逆过程. 若你在 $k$ 个月后, 取总计 $M$ 元的存款, 你只需要在银行存入 $\frac{M}{(1 + i)^{k}}$ 即可, 这里 $i = \frac{r}{12} .$

关键性思考:如果 $k$ 个月后你还给银行 $M$ 元, 那么这 $M$ 元在本月等价于多少钱?

Answer.

\frac{M}{1 + i} + \frac{M}{(1 + i)^{2}} + \dots + \frac{M}{(1 + i)^{N}} = P

注意到，等式左边是等比数列求和，我们得

M = P \times \frac{r (1 + i)^{N}}{(1 + i)^{N} - 1} .

练习题: 假设你分五年零首付等额本息买一台300,000的汽车。请计算每月还款额。

讨论.

在面临一个复杂的问题时，我们可以采取“分而治之”的策略。首先，将大问题拆解为几个更小、更易于管理的子问题。这些子问题应该是相对独立并且简单的，这样我们可以专注于解决每一个小问题，而不是一次性解决整个庞大的问题。

将大问题分解为小问题并逐一解决的思想，哲学上可追溯至古代希腊哲学家亚里士多德的“整体与部分”的理论。

高等数学: 数字教材

Section 1.5 项目式练习

Subsection 1.5.1 环境科学

Project 1.5.1. 环境科学中的几个数学模型.

(a) 指数衰减模型(Exponential Decay Model).

Example 1.5.1.

动手查资料.

讨论.

(b) 逻辑斯蒂生长模型(Logistic Growth Model).

思考题.

Subsection 1.5.2 连续与物理学

Project 1.5.2. 连续在光学中的应用.

(a)

Subsection 1.5.3 连续与工科

Project 1.5.3. 流体流速函数的极限.

(a)

(b)

(c)

Subsection 1.5.4 函数的连续性

Project 1.5.4. 函数的连续性.

(a) 函数 $f (x) = {\begin{cases} x^{a} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0, \end{cases}$ 的连续性.

Subsection 1.5.5 函数与经济学

Project 1.5.5. 分期付款里的数学.

(a)

讨论.

Section 1.5 项目式练习

Subsection 1.5.1 环境科学

Project 1.5.1. 环境科学中的几个数学模型.

(a) 指数衰减模型(Exponential Decay Model).

Example 1.5.1.

动手查资料.

讨论.

(b) 逻辑斯蒂生长模型(Logistic Growth Model).

思考题.

Subsection 1.5.2 连续与物理学

Project 1.5.2. 连续在光学中的应用.

(a)

Subsection 1.5.3 连续与工科

Project 1.5.3. 流体流速函数的极限.

(a)

(b)

(c)

Subsection 1.5.4 函数的连续性

Project 1.5.4. 函数的连续性.

(a) 函数f(x)={xasin⁡1x,x≠00,x=0,的连续性.

Subsection 1.5.5 函数与经济学

Project 1.5.5. 分期付款里的数学.

(a)

讨论.

(a) 函数 $f (x) = {\begin{cases} x^{a} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0, \end{cases}$ 的连续性.